Билет № 14. 1. Свойство вписанного четырехугольника. 2. Площадь треугольника (формулировка и доказательство). 3. Найдите периметр параллелограмма, если биссектриса одного из его углов делит сторону параллелограмма из отрезки 7 см и 14 см.

1. Свойство вписанного четырехугольника:

Формулировка: Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°.

То есть, если ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность, то ∠A + ∠C = 180° и ∠B + ∠D = 180°.

2. Площадь треугольника:

Формулировка: Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Доказательство:

1. Пусть ABC — произвольный треугольник. Проведем высоту BH к основанию AC.
2. Достроим треугольник ABC до параллелограмма ABDC.
3. Площадь параллелограмма ABDC равна произведению основания AC на высоту BH: S_параллелограмма = AC * BH.
4. Треугольники ABC и DCB равны (по трем сторонам: AC=DB, BC=CB, AB=DC).
5. Следовательно, площадь треугольника ABC равна половине площади параллелограмма ABDC.
6. S_треугольника = (1/2) * S_параллелограмма = (1/2) * AC * BH.
7. Таким образом, S_треугольника = (1/2) * основание * высота.

3. Нахождение периметра параллелограмма:

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Биссектриса угла A делит сторону BC на отрезки 7 см и 14 см.

Найти:

• Периметр параллелограмма.

Решение:

1. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E.
2. Так как ABCD — параллелограмм, то AB || BC.
3. Биссектриса AE делит угол A пополам.
4. Рассмотрим углы: ∠BAE = ∠DAE (по определению биссектрисы).
5. Так как AB || BC, то ∠DAE = ∠AEB (как накрест лежащие углы при параллельных AB и BC и секущей AE).
6. Следовательно, ∠BAE = ∠AEB.
7. Это означает, что треугольник ABE равнобедренный с основанием BE.
8. Значит, AB = BE.
9. Биссектриса делит сторону BC на отрезки 7 см и 14 см. Возможны два случая:
• Случай 1: BE = 7 см, EC = 14 см.
• Тогда AB = BE = 7 см.
• Сторона BC = BE + EC = 7 см + 14 см = 21 см.
• Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AD = BC = 21 см, CD = AB = 7 см.
• Периметр P = 2 * (AB + BC) = 2 * (7 см + 21 см) = 2 * 28 см = 56 см.
• Случай 2: EC = 7 см, BE = 14 см.
• Тогда AB = BE = 14 см.
• Сторона BC = BE + EC = 14 см + 7 см = 21 см.
• Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому AD = BC = 21 см, CD = AB = 14 см.
• Периметр P = 2 * (AB + BC) = 2 * (14 см + 21 см) = 2 * 35 см = 70 см.
10. Оба случая возможны, так как биссектриса может отсекать меньший или больший отрезок от стороны.

Ответ: 56 см или 70 см