Билет № 17. 1. Описанная окружность. Центр окружности, описанной около треугольника. 2. Свойства параллелограмма (формулировка и доказательство). 3. Найдите площадь трапеции с основаниями AD и BC, если AD=12см, BC=6см, CD-5см, АС=13см.

1. Описанная окружность и ее центр:

Описанная окружность: Окружность, которая проходит через все вершины многоугольника.

Центр описанной окружности треугольника: Центр окружности, описанной около треугольника, — это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

2. Свойства параллелограмма:

Формулировка:

• Противоположные стороны параллельны и равны.
• Противоположные углы равны.
• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.
• Диагонали пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство (например, равенства противоположных сторон):

1. Пусть ABCD — параллелограмм. Проведем диагональ BD.
2. Рассмотрим треугольники ABD и CDB.
3. ∠ABD = ∠CDB (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD).
4. ∠ADB = ∠CBD (как накрест лежащие при параллельных AD и BC и секущей BD).
5. Сторона BD — общая.
6. Следовательно, треугольники ABD и CDB равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам).
7. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и AD = CB.
8. Таким образом, противоположные стороны параллелограмма равны.

3. Площадь трапеции:

Дано:

• Трапеция ABCD.
• Основания AD = 12 см, BC = 6 см.
• Боковая сторона CD = 5 см.
• Диагональ AC = 13 см.

Найти:

• Площадь трапеции.

Решение:

1. Площадь трапеции равна S = ( (AD + BC) / 2 ) * h, где h — высота.
2. Нам нужно найти высоту трапеции.
3. Рассмотрим треугольник ADC. Известны стороны AD = 12 см, CD = 5 см, AC = 13 см.
4. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора:
5. CD² + AD² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169.
6. AC² = 13² = 169.
7. Так как CD² + AD² = AC², то треугольник ADC является прямоугольным с прямым углом D.
8. Следовательно, сторона CD перпендикулярна основанию AD. Это означает, что CD является высотой трапеции.
9. h = CD = 5 см.
10. Теперь можем найти площадь трапеции:
11. S = ( (12 см + 6 см) / 2 ) * 5 см = (18 / 2) * 5 = 9 * 5 = 45 см².

Ответ: 45 см²