Билет № 18. 1. Вписанная окружность. Центр окружности, вписанной в треугольник. 2. Теорема Пифагора (формулировка и доказательство). Пифагоровы треугольники. 3. Найдите площадь параллелограмма, если AD=12см, BD=5см, АВ=13см,

1. Вписанная окружность и ее центр:

Вписанная окружность: Окружность, которая касается всех сторон многоугольника.

Центр вписанной окружности треугольника: Центр окружности, вписанной в треугольник, — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

2. Теорема Пифагора:

Формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Доказательство (с помощью площадей):

1. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Стороны AC = b, BC = a, гипотенуза AB = c.
2. Построим квадрат со стороной (a+b). Его площадь равна (a+b)².
3. Внутри этого квадрата разместим четыре копии треугольника ABC так, чтобы их гипотенузы образовывали квадрат со стороной c.
4. Площадь квадрата со стороной c равна c².
5. Площадь каждого треугольника равна (1/2)ab.
6. Площадь большого квадрата (a+b)² также равна сумме площадей четырех треугольников и внутреннего квадрата:
7. (a+b)² = 4 * (1/2)ab + c².
8. Раскроем скобки: a² + 2ab + b² = 2ab + c².
9. Вычтем 2ab из обеих частей: a² + b² = c².
10. Что и требовалось доказать.

Пифагоровы треугольники: Треугольники, стороны которых выражаются целыми числами. Наиболее известный пример — египетский треугольник со сторонами 3, 4, 5.

3. Нахождение площади параллелограмма:

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Сторона AD = 12 см.
• Диагональ BD = 5 см.
• Сторона AB = 13 см.

Найти:

• Площадь параллелограмма.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник ABD. Известны все три его стороны: AD = 12 см, BD = 5 см, AB = 13 см.
2. Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя теорему, обратную теореме Пифагора:
3. AD² + BD² = 12² + 5² = 144 + 25 = 169.
4. AB² = 13² = 169.
5. Так как AD² + BD² = AB², то треугольник ABD является прямоугольным с прямым углом D.
6. Это означает, что сторона AD перпендикулярна стороне BD.
7. В параллелограмме ABCD, если угол ADB = 90°, то AD является высотой, проведенной к основанию AB (или к основанию CD). Однако, для параллелограмма удобнее рассматривать высоту, опущенную на одну из сторон.
8. Так как угол ADB = 90°, то AD является высотой, проведенной к стороне BD. Но BD - это диагональ, а не сторона.
9. Вернемся к тому, что угол ADB = 90°. Это значит, что стороны AD и BD перпендикулярны.
10. Площадь треугольника ABD = (1/2) * AD * BD = (1/2) * 12 см * 5 см = 30 см².
11. Площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника, образованного двумя сторонами и диагональю.
12. S_параллелограмма = 2 * S_ABD = 2 * 30 см² = 60 см².

Ответ: 60 см²