Билет № 16. 1.Значения синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°. 2. Теорема, обратная теореме Пифагора (формулировка и доказательство). 3. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8см., гипотенуза 10 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе,

1. Тригонометрические значения для углов 30°, 45°, 60°:

| Угол | Синус (sin) | Косинус (cos) | Тангенс (tan) |

|---|---|---|---|

| 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 = √3/3 |

| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |

| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |

2. Теорема, обратная теореме Пифагора:

Формулировка: Если в треугольнике квадрат одной стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник является прямоугольным.

Доказательство (методом от противного):

1. Пусть дан треугольник ABC, в котором выполняется условие a² + b² = c², где c — самая длинная сторона (например, AB).
2. Предположим, что угол C не прямой.
3. Построим прямоугольный треугольник A'B'C' с прямым углом C', таким, что A'C' = b и B'C' = a.
4. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника A'B'C', имеем: (A'B')² = (A'C')² + (B'C')² = b² + a².
5. По условию, для нашего треугольника ABC также выполняется: AB² = b² + a².
6. Следовательно, (A'B')² = AB². Так как стороны являются положительными длинами, то A'B' = AB.
7. Теперь у нас есть два треугольника: ABC и A'B'C'. У них равны три стороны: AC = A'C' (b), BC = B'C' (a), AB = A'B'.
8. Следовательно, треугольники ABC и A'B'C' равны по третьему признаку равенства треугольников.
9. Так как треугольник A'B'C' прямоугольный (по построению), то и треугольник ABC является прямоугольным, с прямым углом C.

3. Вычисление высоты, проведенной к гипотенузе:

Дано:

• Прямоугольный треугольник ABC.
• Катеты a = 6 см, b = 8 см.
• Гипотенуза c = 10 см.

Найти:

• Высоту h_c, проведенную к гипотенузе.

Решение:

1. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения катетов:
2. S = (1/2) * a * b = (1/2) * 6 см * 8 см = 24 см².
3. Также площадь треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней:
4. S = (1/2) * c * h_c.
5. Приравниваем оба выражения для площади:
6. (1/2) * c * h_c = (1/2) * a * b.
7. c * h_c = a * b.
8. 10 см * h_c = 6 см * 8 см.
9. 10 * h_c = 48.
10. h_c = 48 / 10 = 4,8 см.

Ответ: 4,8 см