Билет № 15. 2) Сформулируйте и докажите свойство отрезков пересекающихся хорд.

Свойство. Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой. Если хорды AB и CD пересекаются в точке E, то AE · EB = CE · ED.

Доказательство. Рассмотрим треугольники AEC и DEB. У них ∠AEC = ∠DEB как вертикальные углы, а ∠ACE = ∠DBE как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD. Значит, треугольники подобны.

Из подобия следует AE/DE = CE/BE. Перемножая крайние и средние члены, получаем AE · BE = CE · DE. Это и требовалось доказать.