Билет №21. 1. Простейшие тригонометрические уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a, ctg x = a 2. Решите уравнение \( \sqrt{x + \sqrt{6x-9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x-9}} = \sqrt{6} \) 3. Сфера

Решение:

1. Простейшие тригонометрические уравнения:
   \( \sin x = a \): Если \( |a| \le 1 \), то \( x = \pm \arcsin a + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
   \( \cos x = a \): Если \( |a| \le 1 \), то \( x = \pm \arccos a + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \).
   \( \mathrm{tg} x = a \): \( x = \mathrm{arctg} a + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
   \( \mathrm{ctg} x = a \): \( x = \mathrm{arcctg} a + \pi k, k \in \mathbb{Z} \).
2. Решение уравнения: \( \sqrt{x + \sqrt{6x-9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x-9}} = \sqrt{6} \)
   Область допустимых значений (ОДЗ):
   1) \( 6x - 9 \ge 0 \) \( \Rightarrow 6x \ge 9 \) \( \Rightarrow x \ge 1.5 \).
   2) \( x + \sqrt{6x-9} \ge 0 \) (всегда выполняется при \( x \ge 1.5 \)).
   3) \( x - \sqrt{6x-9} \ge 0 \) \( \Rightarrow x \ge \sqrt{6x-9} \). Возведём в квадрат: \( x^2 \ge 6x - 9 \) \( \Rightarrow x^2 - 6x + 9 \ge 0 \) \( \Rightarrow (x-3)^2 \ge 0 \). Это неравенство выполняется для всех \( x \).
   Таким образом, ОДЗ: \( x \ge 1.5 \).
   Возведём обе части уравнения в квадрат:
   \[ (\sqrt{x + \sqrt{6x-9}} + \sqrt{x - \sqrt{6x-9}})^2 = (\sqrt{6})^2 \]
   \[ (x + \sqrt{6x-9}) + (x - \sqrt{6x-9}) + 2 \sqrt{(x + \sqrt{6x-9})(x - \sqrt{6x-9})} = 6 \]
   \[ 2x + 2 \sqrt{x^2 - (6x-9)} = 6 \]
   \[ 2x + 2 \sqrt{x^2 - 6x + 9} = 6 \]
   \[ 2x + 2 \sqrt{(x-3)^2} = 6 \]
   \[ 2x + 2|x-3| = 6 \]
   Разделим на 2:
   \[ x + |x-3| = 3 \]
   Рассмотрим два случая:
   Случай 1: \( x - 3 \ge 0 \) \( \Rightarrow x \ge 3 \). Тогда \( |x-3| = x-3 \).
   \[ x + (x-3) = 3 \]
   \[ 2x - 3 = 3 \]
   \[ 2x = 6 \]
   \[ x = 3 \]
   Этот корень удовлетворяет условию \( x \ge 3 \).
   Случай 2: \( x - 3 < 0 \) \( \Rightarrow x < 3 \). Тогда \( |x-3| = -(x-3) = 3-x \).
   \[ x + (3-x) = 3 \]
   \[ 3 = 3 \]
   Это равенство верно для всех \( x \), удовлетворяющих условию \( x < 3 \).
   Учитывая ОДЗ \( x \ge 1.5 \), решение этого случая будет \( x \in [1.5; 3) \).
   Объединяя решения из двух случаев, получаем \( x = 3 \) и \( x \in [1.5; 3) \).
   Следовательно, \( x \in [1.5; 3] \).
   Однако, при подстановке \( x=3 \) в исходное уравнение: \( \sqrt{3+\sqrt{6(3)-9}} + \sqrt{3-\sqrt{6(3)-9}} = \sqrt{3+\sqrt{9}} + \sqrt{3-\sqrt{9}} = \sqrt{3+3} + \sqrt{3-3} = \sqrt{6} + 0 = \sqrt{6} \). Верно.
   При подстановке \( x=1.5 \): \( \sqrt{1.5+\sqrt{6(1.5)-9}} + \sqrt{1.5-\sqrt{6(1.5)-9}} = \sqrt{1.5+\sqrt{9-9}} + \sqrt{1.5-\sqrt{9-9}} = \sqrt{1.5} + \sqrt{1.5} = 2\sqrt{1.5} = \sqrt{4 \times 1.5} = \sqrt{6} \). Верно.
   При подстановке \( x=2 \): \( \sqrt{2+\sqrt{6(2)-9}} + \sqrt{2-\sqrt{6(2)-9}} = \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} \). Возведём в квадрат:
   \( (\sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}})^2 = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) + 2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})} = 4 + 2\sqrt{4-3} = 4 + 2\sqrt{1} = 4+2 = 6 \).
   Значит, \( \sqrt{2+\sqrt{3}} + \sqrt{2-\sqrt{3}} = \sqrt{6} \).
   Таким образом, все \( x \in [1.5; 3] \) являются решениями.
   Перепроверка:
   Уравнение \( x + |x-3| = 3 \) дает:
   Если \( x ≥ 3 \), то \( x + x - 3 = 3 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3 \).
   Если \( x < 3 \), то \( x + 3 - x = 3 ⇒ 3 = 3 \). Это верно для всех \( x < 3 \).
   Учитывая ОДЗ \( x ≥ 1.5 \), получаем, что решениями являются \( x=3 \) и \( x ∈ [1.5, 3) \).
   Объединяя, получаем \( x ∈ [1.5, 3] \).
3. Теоретический вопрос: Сфера — это геометрическое тело, поверхность которого состоит из всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от данной точки (центра сферы).

Ответ: 1. Формулы для простейших тригонометрических уравнений. 2. \( x \in [1.5; 3] \). 3. Сфера — множество точек пространства, равноудалённых от центра.