Билет №19. 1. Формулы приведения 2. Решите неравенство \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3 \) 3. Конус

Решение:

1. Формулы приведения — это формулы, позволяющие привести тригонометрические функции углов из второй, третьей и четвёртой четвертей к тригонометрическим функциям острых углов. Основные формулы:
   \( \sin(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \pm \cos(\alpha) \)
   \[ \cos(\frac{\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \sin(\alpha) \)
   \[ \sin(\pi \pm \alpha) = \mp \sin(\alpha) \)
   \[ \cos(\pi \pm \alpha) = \mp \cos(\alpha) \)
   \[ \sin(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha) = \mp \cos(\alpha) \)
   \[ \cos(\frac{3\pi}{2} \pm \alpha) = \pm \sin(\alpha) \)
   \[ \sin(2\pi \pm \alpha) = \pm \sin(\alpha) \)
   \[ \cos(2\pi \pm \alpha) = \pm \cos(\alpha) \)
2. Решение неравенства: \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} > x + 3 \)
   Область допустимых значений (ОДЗ): \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \).
   Корни \( x^2 - 3x + 2 = 0 \): \( (x-1)(x-2) = 0 \), значит \( x=1 \) и \( x=2 \).
   ОДЗ: \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty) \).
   Рассмотрим два случая:
   Случай 1: Правая часть неравенства отрицательна или равна нулю, то есть \( x + 3 \le 0 \) \( \Rightarrow x \le -3 \).
   В этом случае неравенство выполняется для всех \( x \) из ОДЗ, для которых \( x \le -3 \).
   Пересечение \( (-\infty; 1] \cup [2; \infty) \) и \( (-\infty; -3] \) даёт \( (-\infty; -3] \).
   Случай 2: Правая часть неравенства положительна, то есть \( x + 3 > 0 \) \( \Rightarrow x > -3 \).
   Возведём обе части неравенства в квадрат:
   \[ x^2 - 3x + 2 > (x + 3)^2 \]
   \[ x^2 - 3x + 2 > x^2 + 6x + 9 \]
   \[ -3x + 2 > 6x + 9 \]
   \[ -9x > 7 \]
   \[ x < -\frac{7}{9} \]
   Учитывая условие \( x > -3 \) и ОДЗ \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty) \), пересечение даёт:
   \( (-3; 1] \) и \( (-\infty; -\frac{7}{9}) \). Так как \( -\frac{7}{9} \approx -0.78 \) и \( -3 < -0.78 < 1 \), то пересечение будет \( (-3; -\frac{7}{9}) \).
   Объединим решения из двух случаев:
   \( (-\infty; -3] \cup (-3; -\frac{7}{9}) = (-\infty; -\frac{7}{9}) \).
   Но нужно учесть ОДЗ. Мы искали решение при \( x > -3 \), поэтому пересечение \( (-\infty; -\frac{7}{9}) \) с \( (-\infty; 1] \cup [2; \infty) \) даёт \( (-\infty; -7/9) \).
   Объединяем решения:
   \( (-\infty; -3] \cup (-\infty; -7/9) \). Так как \( -3 < -7/9 \), то объединение будет \( (-\infty; -7/9) \).
   Повторно проверим ОДЗ. \( x \in (-\infty; 1] \cup [2; \infty) \).
   Случай 1: \( x \le -3 \). Пересечение с ОДЗ: \( (-\infty; -3] \).
   Случай 2: \( x > -3 \) и \( x < -7/9 \). Пересечение с ОДЗ: \( (-3; -7/9) \) (так как \( -7/9 \) попадает в \( (-\infty; 1] \)).
   Объединяя \( (-\infty; -3] \) и \( (-3; -7/9) \), получаем \( (-\infty; -7/9) \).
3. Теоретический вопрос: Конус — это тело, которое образуется вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

Ответ: 1. Формулы для преобразования тригонометрических функций. 2. \( x \in (-\infty; -7/9) \). 3. Конус — тело вращения.