Билет №2. 1. Дайте определение и назовите свойства параллелограмма. 2. Докажите свойства диагоналей прямоугольника. 3. Один из углов ромба равен 43°. Найдите больший угол этого ромба. Ответ дайте в градусах. 4. В равностороннем треугольнике ABC медианы BF и AS пересекаются в точке O. Найдите угол AOB.

1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Его свойства: противоположные стороны равны; противоположные углы равны; сумма соседних углов равна \(180^\circ\); диагонали точкой пересечения делятся пополам.

2. Пусть ABCD — прямоугольник, а диагонали AC и BD пересекаются в O. Прямоугольник является параллелограммом, поэтому его диагонали делятся точкой пересечения пополам: AO = OC и BO = OD. Рассмотрим прямоугольные треугольники ABC и BAD. У них AB — общая сторона, а BC = AD, поскольку противоположные стороны параллелограмма равны. Треугольники равны по двум катетам, поэтому AC = BD. Итак, диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам.

3. Соседние углы ромба supplementary, поэтому больший угол равен \(180^\circ-43^\circ=137^\circ\).

4. В равностороннем треугольнике медианы являются также высотами и пересекаются в центре. Угол между направлениями от центра к вершинам A и B равен \(120^\circ\). Следовательно, \(\angle AOB=120^\circ\).

Ответ: 3) 137°; 4) 120°.