Билет №4. 1. Дайте определение и назовите свойства ромба. 2. Докажите свойство диагоналей параллелограмма. 3. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине C равен 123°. Найдите величину угла ABC. Ответ дайте в градусах. 4. В выпуклом четырёхугольнике ABCD AB = BC, AD = CD, угол B = 70°, угол D = 120°. Найдите угол A, ответ дайте в градусах.

1. Ромб — параллелограмм, у которого все стороны равны. Его свойства: противоположные стороны параллельны; противоположные углы равны, а соседние в сумме дают \(180^\circ\); диагонали точкой пересечения делятся пополам, взаимно перпендикулярны и делят углы ромба пополам.

2. Пусть диагонали AC и BD параллелограмма ABCD пересекаются в O. Так как AB ∥ CD, углы BAO и DCO равны как накрест лежащие. Так как AB ∥ CD также и BO, DO лежат на одной прямой, углы ABO и CDO равны. Стороны AB и CD равны как противоположные стороны параллелограмма. Следовательно, треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам, поэтому AO = OC и BO = OD. Значит, диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам.

3. Внутренний угол C смежен с внешним: \(\angle C=180^\circ-123^\circ=57^\circ\). Так как основание треугольника — AC, боковые стороны AB и BC равны, поэтому углы A и C равны. Тогда \(\angle B=180^\circ-57^\circ-57^\circ=66^\circ\).

4. Из AB = BC и AD = CD следует, что точки A и C равноудалены от B и D. Значит, BD — серединный перпендикуляр к AC, и углы A и C равны. Сумма углов четырёхугольника равна \(360^\circ\), поэтому \(\angle A+\angle C=360^\circ-70^\circ-120^\circ=170^\circ\). Так как они равны, \(\angle A=170^\circ/2=85^\circ\).

Ответ: 3) 66°; 4) 85°.