Билет №3. 1. Дайте определение и назовите свойства прямоугольника. 2. Докажите свойства противоположных сторон и углов параллелограмма. 3. Найдите величину острого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15°. Ответ дайте в градусах. 4. На сторонах угла BAC и на его биссектрисе отложены равные отрезки AB, AC, AD. Величина угла BDC равна 120°. Определите величину угла BAC.

1. Прямоугольник — параллелограмм, у которого все углы прямые. Его свойства: противоположные стороны равны и параллельны; все углы равны 90°; диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

2. Пусть ABCD — параллелограмм. Проведём диагональ AC. Так как AB ∥ CD и BC ∥ AD, накрест лежащие углы равны: \(\angle BAC=\angle ACD\), \(\angle BCA=\angle CAD\). Сторона AC общая, поэтому треугольники ABC и CDA равны по стороне и двум прилежащим углам. Отсюда AB = CD и BC = AD. Кроме того, соответствующие углы параллелограмма равны: \(\angle A=\angle C\), \(\angle B=\angle D\). Соседние углы являются внутренними односторонними при параллельных прямых, поэтому каждый такой соседний угол в сумме с другим равен \(180^\circ\).

3. Поскольку BC ∥ AD, угол между биссектрисой угла A и BC равен углу между этой биссектрисой и AD, то есть половине угла A. Значит, \(\angle A/2=15^\circ\), откуда \(\angle A=30^\circ\). Это острый угол параллелограмма.

4. Пусть половина угла BAC равна x. Так как AB = AC = AD, точки B и C находятся на расстоянии AB от A по сторонам угла, а D — на таком же расстоянии на биссектрисе. В треугольнике BDC отрезки DB и DC симметричны относительно биссектрисы AD. Угол между ними равен \(180^\circ-x\). Поэтому \(180^\circ-x=120^\circ\), откуда x = 60° и \(\angle BAC=2x=120^\circ\).

Ответ: 3) 30°; 4) 120°.