Билет №2 1. Параллелограмм. Признаки параллелограмма (доказательство одного из них) 2. Один из смежных углов в 4 раза больше другого. Найти оба угла.

Решение:

1. Признаки параллелограмма:
   • Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   • Если в четырехугольнике противоположные углы попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   • Если диагонали четырехугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.
   Доказательство одного из признаков (например, если диагонали пересекаются и делятся пополам): Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O так, что AO = OC и BO = OD. Рассмотрим треугольники AOB и COD. AB = CD (по условию). AO = CO, BO = DO. Значит, треугольники AOB и COD равны по третьему признаку равенства треугольников. Следовательно, ∠BAC = ∠ACD, что означает AB || CD. Рассмотрим треугольники BOC и DOA. BO = DO, CO = AO, ∠BOC = ∠DOA (вертикальные). Значит, треугольники BOC и DOA равны. Следовательно, ∠BCA = ∠CAD, что означает BC || AD. Так как противоположные стороны попарно параллельны, то ABCD — параллелограмм.
2. Нахождение углов:
   Пусть один угол равен \( x \), тогда другой смежный угол равен \( 4x \).
   Сумма смежных углов равна 180°, поэтому \( x + 4x = 180° \).
   \( 5x = 180° \)
   \( x = \frac{180°}{5} = 36° \)
   Тогда второй угол равен \( 4 \times 36° = 144° \).

Ответ: 36° и 144°.