Билет №4 1. Параллелограмм. Доказательство теоремы о площади параллелограмма. 2. Луч AD – биссектриса угла А. На сторонах угла А отмечены точки В и С, так, что ∠ ADB = ∠ ADC. Доказать, что АВ = АС.

Решение:

1. Теорема о площади параллелограмма: Площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. \( S = a \cdot h \).
   Доказательство:
   Пусть дан параллелограмм ABCD. Проведем высоту BH к стороне AD. Площадь параллелограмма ABCD равна площади прямоугольника ABHD, если ∠A = 90°. Если ∠A ≠ 90°, то проведем высоту BH к стороне AD. Из прямоугольного треугольника ABH имеем \( BH = AB · · \sin{A} \). Площадь параллелограмма равна \( S = AD · BH = AD · AB · · · \sin{A} \).
2. Доказательство равенства сторон:
   Рассмотрим треугольники ADB и ADC.
   AD — общая сторона.
   ∠ADB = ∠ADC (по условию).
   AD — биссектриса угла A, значит, ∠BAD = ∠CAD.
   По второму признаку равенства треугольников (угол-сторона-угол), треугольники ADB и ADC равны.
   Следовательно, соответствующие стороны AB и AC равны.

Ответ: AB = AC.