Билет 3. 2. Докажите признак равенства треугольников по трём сторонам (любой частный случай).

Признак: если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство. Пусть в треугольниках \(ABC\) и \(A_1B_1C_1\) выполнено:

\(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\), \(AC=A_1C_1\).

Наложим треугольник \(ABC\) на треугольник \(A_1B_1C_1\) так, чтобы сторона \(AB\) совпала со стороной \(A_1B_1\). Это возможно, поскольку \(AB=A_1B_1\). Точка \(C\) должна находиться на окружности с центром \(A\) и радиусом \(AC\), а также на окружности с центром \(B\) и радиусом \(BC\). По условиям эти радиусы соответственно равны \(A_1C_1\) и \(B_1C_1\), поэтому точка \(C\) совпадёт с точкой \(C_1\) (возможное отражение также даёт совпадение треугольников при наложении).

Следовательно, все соответствующие стороны и углы треугольников совпадают, поэтому \(\triangle ABC=\triangle A_1B_1C_1\).

Ответ: треугольники равны по трём сторонам.