Билет №4 1. Какие прямые называются перпендикулярными? Каким свойством обладают две прямые, перпендикулярные к третьей? Сделайте рисунок. 2. Сформулируйте признак равнобедренного треугольника. 3. Задача. Найдите неразвернутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если сумма двух из них равна 126°.

Решение:

1. Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом (90°). Две прямые, перпендикулярные к третьей прямой, параллельны между собой.
2. Признак равнобедренного треугольника: Если при пересечении двух прямых третьей прямой образуются равные накрест лежащие углы, то эти две прямые параллельны.
3. Нахождение углов:
   1. Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — два смежных угла. Тогда \(\alpha + \beta = 180°\).
   2. Пусть \(\gamma\) и \(\delta\) — два вертикальных угла, равные между собой.
   3. Из условия задачи \(\alpha + \gamma = 126°\) (или \(\alpha + \beta = 126°\), но это невозможно, так как \(\alpha + \beta = 180°\)).
   4. Пусть \(\alpha\) — один из углов. Тогда \(\gamma\) (вертикальный к \(\alpha\)) также равен \(\alpha\). \(\beta\) и \(\delta\) — смежные с \(\alpha\) и \(\gamma\) соответственно, поэтому \(\beta = \delta = 180° - \alpha\).
   5. У нас есть две возможности:
   6. Случай 1: Сумма двух смежных углов равна 126°. Это невозможно, так как сумма смежных углов всегда 180°.
   7. Случай 2: Сумма двух углов, один из которых является смежным к другому, равна 126°.
   8. Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — смежные углы. \(\alpha + \beta = 180°\).
   9. Пусть \(\gamma\) — угол, смежный с \(\alpha\), то есть \(\gamma = \beta\).
   10. Пусть \(\delta\) — угол, вертикальный к \(\alpha\), то есть \(\delta = \alpha\).
   11. Если сумма двух углов равна 126°, то это могут быть:
   12. а) два смежных угла, но это невозможно.
   13. б) угол и его вертикальный угол. Тогда \(\alpha + \alpha = 126°\), \(2\alpha = 126°\), \(\alpha = 63°\). Тогда смежные углы будут \(63°\) и \(180° - 63° = 117°\).
   14. в) два угла, которые не являются вертикальными и смежными.
   15. Рассмотрим случай, когда сумма двух углов, образованных при пересечении двух прямых, равна 126°. Пусть эти углы \(\alpha\) и \(\beta\).
   16. Если \(\alpha\) и \(\beta\) — смежные, то \(\alpha + \beta = 180°\).
   17. Если \(\alpha\) и \(\beta\) — вертикальные, то \(\alpha = \beta\).
   18. Если \(\alpha\) и \(\beta\) — прилежащие к одной прямой, то они смежные.
   19. При пересечении двух прямых образуются 4 угла. Два угла равны \(\alpha\) (вертикальные) и два угла равны \(\beta\) (вертикальные). Также \(\alpha + \beta = 180°\).
   20. Если сумма двух углов равна 126°, то это могут быть:
   21. 1. Две пары смежных углов, но тогда их сумма 180°.
   22. 2. Одна пара смежных углов и одна пара вертикальных.
   23. 3. Две пары вертикальных углов, но тогда они равны.
   24. Наиболее вероятно, что речь идет о сумме двух углов, которые не являются парой вертикальных.
   25. Пусть \(\alpha\) и \(\beta\) — смежные углы, и \(\alpha + \beta = 180°\).
   26. Пусть \(\alpha\) и \(\gamma\) — два угла, сумма которых равна 126°. \(\gamma\) может быть смежным с \(\alpha\) (тогда \(\gamma = \beta\)) или вертикальным с \(\alpha\) (тогда \(\gamma = \alpha\)).
   27. Случай 1: \(\alpha + \beta = 126°\). Так как \(\alpha + \beta = 180°\), это невозможно.
   28. Случай 2: \(\alpha + \gamma = 126°\), где \(\gamma\) — вертикальный к \(\beta\). Но \(\gamma = \beta\). Значит, \(\alpha + \beta = 126°\), что невозможно.
   29. Случай 3: \(\alpha + \gamma = 126°\), где \(\gamma\) — вертикальный к \(\alpha\). Значит, \(\alpha + \alpha = 126°\). \(2\alpha = 126°\), \(\alpha = 63°\).
   30. Тогда смежный с \(\alpha\) угол \(\beta = 180° - 63° = 117°\).
   31. Образуются углы: 63°, 117°, 63°, 117°.
   32. Проверка: 63° + 117° = 180°.
   33. Сумма двух углов равна 126°: 63° + 63° = 126°.
   34. Сумма других двух углов: 117° + 117° = 234°.
   35. Сумма смежных углов: 63° + 117° = 180°.
   36. Сумма углов при пересечении двух прямых: 63° + 117° + 63° + 117° = 360°.

   Ответ: Углы равны 63° и 117°.