Билет №5: 1. Определение подобных треугольников. Доказать теорему об отношении площадей подобных треугольников. 2. Трапеция. Основные элементы трапеции. Виды трапеций.

Справка:

• Подобные треугольники — это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.
• Трапеция — это четырехугольник, у которого только две стороны параллельны.

Разбор:

• 1. Теорема об отношении площадей подобных треугольников:
  • Теорема: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату отношения их соответствующих сторон.
  • Доказательство: Пусть даны два подобных треугольника ABC и A₁B₁C₁ с коэффициентом подобия \( k = rac{a_1}{a} = rac{b_1}{b} = rac{c_1}{c} \). Площадь треугольника ABC равна \( S_{ABC} = rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} a oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a \), где \( h_a \) — высота, проведенная к стороне \( a \). Площадь треугольника A₁B₁C₁ равна \( S_{A_1B_1C_1} = rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} a_1 oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_{a_1} \). Так как треугольники подобны, то отношение их высот равно отношению сторон: \( rac{h_{a_1}}{h_a} = k \). Следовательно, \( h_{a_1} = k oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a \). Отношение площадей: \( rac{S_{A_1B_1C_1}}{S_{ABC}} = rac{rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} a_1 oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_{a_1}}{rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} a oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a} = rac{(k oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} a) oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} (k oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a)}{a oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a} = k^2 oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} rac{a oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a}{a oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} h_a} = k^2 \). Таким образом, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия.
• 2. Трапеция:
  • Основные элементы: Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами. Высота трапеции — перпендикуляр, опущенный из любой точки одного основания на прямое продолжение другого основания.
  • Виды трапеций:
    • Равнобедренная трапеция: боковые стороны равны.
    • Прямоугольная трапеция: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
    • Произвольная (или разносторонняя) трапеция: боковые стороны неравны и не перпендикулярны основаниям.

Ответ: Определение подобных треугольников, теорема об отношении их площадей, а также элементы и виды трапеций.