Билет №6: 1. Площадь треугольника (с доказательством). 2. Свойство биссектрисы треугольника.

Справка:

• Площадь треугольника — половина произведения его основания на высоту.
• Биссектриса треугольника — отрезок, соединяющий вершину угла треугольника с противоположной стороной и делящий угол пополам.

Разбор:

• 1. Площадь треугольника:
  • Формула: \( S = rac{1}{2} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{a}}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{ imes }}} oldsymbol{oldsymbol{ ext{h}}}_a \), где \( a \) — длина основания, \( h_a \) — длина высоты, проведенной к этому основанию.
  • Доказательство: Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Проведем высоту BH к основанию AC. Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания AC на высоту BH. Чтобы доказать это, можно построить прямоугольник ACDE, где D и E — точки, такие что BD и BE являются высотами. Треугольники ABD и CBE равны, а площадь прямоугольника ACDE равна произведению AC на BH. Площадь треугольника ABC равна половине площади прямоугольника ACDE.
• 2. Свойство биссектрисы треугольника:
  • Теорема: Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.
  • Формулировка: В любом треугольнике биссектриса угла делит противолежащую этому углу сторону на два отрезка, отношение которых равно отношению двух других сторон треугольника. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке D. Тогда \( rac{BD}{DC} = rac{AB}{AC} \).

Ответ: Формула площади треугольника с доказательством и свойство биссектрисы треугольника.