Билет №5. 4. На рисунке AB = AD, CB = CD. Докажите, что O - середина BD.

Для доказательства того, что O - середина BD, нужно показать, что BO = OD.

1. **Рассмотрим треугольники ABC и ADC:**
- AB = AD (дано)
- CB = CD (дано)
- AC - общая сторона
Следовательно, треугольники ABC и ADC равны по трем сторонам (SSS).

2. **Из равенства треугольников:**
Из равенства треугольников ABC и ADC следует равенство соответствующих углов: ∠BAC = ∠DAC и ∠BCA = ∠DCA.
Значит, AC является биссектрисой угла BAD и угла BCD.

3. **Рассмотрим треугольники ABO и ADO:**
- AB = AD (дано)
- ∠BAO = ∠DAO (AC - биссектриса ∠BAD)
- AO - общая сторона
Следовательно, треугольники ABO и ADO равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).

4. **Из равенства треугольников ABO и ADO:**
Из равенства треугольников ABO и ADO следует равенство соответствующих сторон, в частности BO = DO.
Это означает, что точка О является серединой отрезка BD.

**Итог:** Точка О является серединой BD, так как BO = OD.