Билет №6. 2. Теорема о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника (доказательство).

Теорема гласит, что биссектриса угла, противолежащего основанию равнобедренного треугольника, является его высотой и медианой.

**Доказательство:**
Пусть дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC, где AB=BC. Проведем биссектрису BD угла ABC. Нужно доказать, что BD является высотой (BD ⊥ AC) и медианой (AD = DC).

1. **Рассмотрим треугольники ABD и CBD:**
- AB = BC (по определению равнобедренного треугольника)
- ∠ABD = ∠CBD (по определению биссектрисы)
- BD - общая сторона
Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по двум сторонам и углу между ними (SAS).

2. **Из равенства треугольников ABD и CBD следует:**
- AD = DC (следовательно, BD - медиана)
- ∠ADB = ∠CDB.

3. **Углы ADB и CDB - смежные углы, а их сумма равна 180°:**
∠ADB + ∠CDB = 180°, но ∠ADB = ∠CDB. Тогда 2 * ∠ADB = 180°, и, следовательно, ∠ADB = 90°. Это означает, что BD ⊥ AC.

**Вывод:** Биссектриса, проведённая из вершины равнобедренного треугольника, является также медианой и высотой.