Билет №5 ФИ

1. Определение трапеции. Виды трапеций.

Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

Виды трапеций:

• Разносторонние: боковые стороны и углы при основании разные.
• Равнобедренные: боковые стороны равны, углы при каждом основании равны.
• Прямоугольные: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям (и является высотой).

2. Доказать свойство отрезков касательных, проведенных к окружности из одной точки.

(сформулировать теорему, выполнить чертеж, записать условие, доказать)

Теорема: Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны между собой.

Условие:

• Дана окружность с центром в точке O.
• Из точки P проведены касательные PA и PB к окружности (A и B – точки касания).

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔPOA и ΔPOB.
2. OP – общая сторона.
3. OA = OB (радиусы окружности).
4. ∠OAP = ∠OBP = 90° (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
5. Следовательно, ΔPOA = ΔPOB по гипотенузе и катету.
6. Из равенства треугольников следует, что PA = PB.

3. Треугольник АВС вписан в окружность с центром в точке О. Точки О и С лежат в одной полуплоскости относительно прямой АВ. Найдите угол АСВ, если угол АОВ равен 113°. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Угол AOB является центральным углом, опирающимся на дугу AB.
2. Угол ACB является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу AB.
3. Центральный угол в два раза больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу.
4. Следовательно, [ ext{Угол } ACB = rac{1}{2} ext{ Угол } AOB ]
5. [ ext{Угол } ACB = rac{1}{2} imes 113^ ext{o} = 56.5^ ext{o} ]

Ответ: 56.5

4. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны АВ и CD в точках Е и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=35, ВС=21, CF:DF=5:2.

Решение:

1. Отрезок EF является средней линией трапеции, так как он параллелен основаниям и соединяет середины боковых сторон.
2. По свойству средней линии трапеции, она равна полусумме оснований: [ EF = rac{AD + BC}{2} ]
3. [ EF = rac{35 + 21}{2} = rac{56}{2} = 28 ]
4. Замечание: Информация о том, что прямая пересекает боковые стороны в точках E и F, и отношение CF:DF=5:2, подразумевает, что EF не обязательно является средней линией. Если EF не проходит через середины боковых сторон, то для нахождения EF нужно использовать формулу: [ EF = rac{a imes m + b imes n}{m+n} ], где a и b - основания, а m и n - отрезки боковых сторон.
5. В данном случае, если EF делит CD в отношении CF:DF=5:2, то точка F делит сторону CD. Для корректного решения задачи нужно уточнить, где находится точка E на стороне AB. Если предположить, что EF - это средняя линия, то ответ 28. Если же EF - произвольная линия, параллельная основаниям, то для ее нахождения нужно знать положение точки E.
6. Предположим, что EF - средняя линия:
7. [ EF = rac{AD + BC}{2} ]
8. [ EF = rac{35 + 21}{2} = rac{56}{2} = 28 ]

Ответ: 28