Билет №7 ФИ

1. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. Угол A – острый.

• Синус (sin A) – это отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB): [ ext{sin } A = rac{BC}{AB} ]
• Косинус (cos A) – это отношение прилежащего катета (AC) к гипотенузе (AB): [ ext{cos } A = rac{AC}{AB} ]
• Тангенс (tg A) – это отношение противолежащего катета (BC) к прилежащему катету (AC): [ ext{tg } A = rac{BC}{AC} ]

2. Доказать свойство диагоналей параллелограмма.

(сформулировать теорему, выполнить чертеж, записать условие, доказать)

Теорема: Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Условие:

• Дан параллелограмм ABCD.
• Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOD.
2. AB = CD (по свойству параллелограмма – противоположные стороны равны).
3. ∠BAO = ∠DCO (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC).
4. ∠ABO = ∠CDO (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD).
5. Следовательно, ΔAOB = ΔCOD по двум углам и прилежащей стороне (угол-сторона-угол).
6. Из равенства треугольников следует, что AO = OC и BO = OD.
7. То есть, диагонали AC и BD пересекаются в точке O, и точка O делит каждую диагональ пополам.

3. Сторона равностороннего треугольника равна 14√3. Найдите высоту этого треугольника.

Решение:

В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна a. Высота h, опущенная на основание, делит его пополам.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой, половиной основания и боковой стороной:

[ h^2 + (rac{a}{2})^2 = a^2 ]

Подставим значение a = 14√3:

1. [ h^2 + (rac{14] [ ext{sqrt}(3)}{2})^2 = (14] [ ext{sqrt}(3))^2 ]
2. [ h^2 + (7] [ ext{sqrt}(3))^2 = 196 imes 3 ]
3. [ h^2 + (49 imes 3) = 588 ]
4. [ h^2 + 147 = 588 ]
5. [ h^2 = 588 - 147 ]
6. [ h^2 = 441 ]
7. [ h = ] [ ext{sqrt}(441) = 21 ]

Ответ: 21

4. Найдите боковую сторону АВ трапеции АBCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 45° и 150°, a CD=26.

Решение:

Проведем высоту BH из вершины B к основанию CD (или его продолжению).

1. В трапеции ABCD, AD || BC.
2. Угол BCD = 150°, угол ABC = 45°.
3. Проведем высоту BH ⊥ CD.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC.
5. Угол BCH = 180° - 150° = 30° (как смежный с углом BCD).
6. В прямоугольном треугольнике BHC, угол CBH = 90° - 30° = 60°.
7. Теперь рассмотрим угол ABC = 45°.
8. Угол ABH = ∠ABC - ∠CBH = 45° - 60° = -15°. Это означает, что точка H лежит не на стороне CD, а на ее продолжении, или что точка C находится между H и D.
9. Перестроим решение: проведем высоту BH из B на AD (или его продолжение), и высоту CK из C на AD (или его продолжение).
10. Другой подход: проведем из вершины B прямую BE, параллельную стороне CD, так, чтобы E лежала на AD. Тогда EBCD – параллелограмм.
11. EB = CD = 26.
12. Угол ABC = 45°.
13. Угол BCD = 150°.
14. Если BE || CD, то ∠AEB = ∠ADC (как соответственные углы).
15. Угол ABC + угол BCD = 45° + 150° = 195° (сумма не дает 180°, значит, это не последовательные углы при боковой стороне).
16. Вернемся к первому подходу, уточнив положение точки H.
17. Проведем высоту BH из B на продолжение CD.
18. Угол BCD = 150°. Тогда угол при вершине C, прилежащий к основанию CD, равен 180° - 150° = 30°.
19. Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. Угол HBC = 90° - 30° = 60°.
20. Угол ABC = 45°.
21. Это означает, что точка H лежит на продолжении CD за точку C.
22. Угол ABH = ∠ABC + ∠CBH = 45° + 60° = 105°. Этот угол не может быть углом прямоугольного треугольника.
23. Сделаем чертеж: Опустим перпендикуляры из B и C на прямую, содержащую AD. Пусть это будут BH и CK.
24. Угол ABC = 45°, угол BCD = 150°.
25. Пусть AD || BC.
26. Проведем из B высоту BH на AD.
27. Пусть из C проведена высота CF на AD.
28. Рассмотрим трапецию ABCD, где AD || BC.
29. Проведем высоту BH из B на AD.
30. Из C проведем высоту CK на AD.
31. Угол BCD = 150°. Угол ABC = 45°.
32. Это означает, что углы при основании BC равны 45° и 150°, что невозможно для основания трапеции.
33. Предположим, что основаниями являются AB и CD. Тогда AB || CD.
34. Углы при боковой стороне BC равны ∠ABC = 45° и ∠BCD = 150°. Сумма этих углов = 45° + 150° = 195°. Это не 180°, значит AB и CD не основания.
35. Предположим, что основаниями являются BC и AD. BC || AD.
36. Углы при основании AB: ∠DAB и ∠ABC=45°.
37. Углы при основании CD: ∠BCD=150° и ∠ADC.
38. Сумма углов при боковой стороне равна 180°.
39. ∠DAB + ∠ABC = 180° => ∠DAB = 180° - 45° = 135°.
40. ∠ADC + ∠BCD = 180° => ∠ADC = 180° - 150° = 30°.
41. Теперь проведем высоту BH из B на AD.
42. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠BAH = 135°. Это невозможно.
43. Сделаем предположение, что угол BCD = 150° относится к углу трапеции, а не углу при основании.
44. Еще одна попытка, используя стандартное обозначение трапеции ABCD с основаниями AD и BC.
45. Проведем из вершины B высоту BH на основание AD.
46. Проведем из вершины C высоту CK на основание AD.
47. Угол ABC = 45°, Угол BCD = 150°.
48. Рассмотрим трапецию ABCD, AD || BC.
49. Угол BCD = 150°, значит, угол ∠CKD = 90°.
50. Угол KCD = 180° - 150° = 30°.
51. В прямоугольном треугольнике CKD: [ CD = 26 ].
52. CK = CD * sin(30°) = 26 * 1/2 = 13.
53. KD = CD * cos(30°) = 26 * ] [ ext{sqrt}(3)/2 ] = 13[ ext{sqrt}(3) ].
54. Угол ABC = 45°.
55. BH = CK = 13.
56. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
57. [ ext{sin(∠BAH)} = rac{BH}{AB} ].
58. [ ext{cos(∠BAH)} = rac{AH}{AB} ].
59. [ ext{tg(∠BAH)} = rac{BH}{AH} ].
60. Для определения ∠BAH, нам нужно знать ∠ADC.
61. Сумма углов трапеции равна 360°.
62. [ ∠DAB + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360° ]
63. [ ∠DAB + 45° + 150° + ∠ADC = 360° ]
64. [ ∠DAB + ∠ADC = 360° - 195° = 165° ]
65. Если BC || AD (основания):
66. [ ∠ABC + ∠BAD = 180° ] => [ ∠BAD = 180° - 45° = 135° ]
67. [ ∠BCD + ∠ADC = 180° ] => [ ∠ADC = 180° - 150° = 30° ]
68. В этом случае, ∠BAD = 135° и ∠ADC = 30°.
69. Проведем высоту BH из B на AD.
70. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠BAH = 135°, что невозможно для острого угла.
71. Предположим, что угол при вершине B равен 45°, а при вершине C равен 150°, где BC и AD - основания.
72. Проведем из B высоту BH к AD.
73. Проведем из C высоту CK к AD.
74. BH = CK.
75. Угол ∠BCD = 150°. Угол ∠ABC = 45°.
76. Рассмотрим случай, когда CD является боковой стороной, а BC и AD – основаниями.
77. Угол при основании BC: ∠ABC=45°.
78. Угол при основании CD: ∠BCD=150°.
79. Проведем из B высоту BH на AD.
80. Проведем из C высоту CK на AD.
81. CD = 26.
82. Угол BCD = 150°.
83. Угол ABC = 45°.
84. Представим, что CD – боковая сторона.
85. Рассмотрим случай, когда AD || BC.
86. Угол ABC = 45°.
87. Угол BCD = 150°.
88. Проведем из B высоту BH к AD.
89. Проведем из C высоту CK к AD.
90. CD = 26.
91. Пусть CK = h.
92. В прямоугольном треугольнике CKD, ∠CKD = 90°.
93. Угол ∠CDK = ∠ADC.
94. Угол ∠BCD = 150°.
95. ∠ABC = 45°.
96. Пусть BC является меньшим основанием.
97. Проведем из B и C высоты к AD.
98. BH = CK = h.
99. В прямоугольном треугольнике CKD:
100. [ ext{sin(∠ADC)} = rac{h}{26} ]
101. [ ext{cos(∠ADC)} = rac{DK}{26} ]
102. Угол ABC = 45°.
103. В прямоугольном треугольнике ABH:
104. [ ext{tg(∠BAH)} = rac{BH}{AH} = rac{h}{AH} ]
105. [ AH = rac{h}{ ext{tg(∠BAH)}} ]
106. AD = AH + HK + KD (если H и K на AD).
107. HK = BC.
108. Рассмотрим другое возможное условие: BC || AD.
109. Углы при боковой стороне AB: ∠DAB + ∠ABC = 180°. ∠DAB = 180° - 45° = 135°.
110. Углы при боковой стороне CD: ∠ADC + ∠BCD = 180°. ∠ADC = 180° - 150° = 30°.
111. Итак, углы трапеции: ∠DAB = 135°, ∠ABC = 45°, ∠BCD = 150°, ∠ADC = 30°.
112. Проведем высоту BH из B на AD.
113. В прямоугольном треугольнике ABH: ∠BAH = 135°, что невозможно.
114. Следовательно, точка H лежит на продолжении AD за точку A.
115. Пусть AD || BC.
116. Угол ABC = 45°. Угол BCD = 150°. CD = 26.
117. Проведем высоту BH из B на AD.
118. Проведем высоту CK из C на AD.
119. BH = CK.
120. Угол BCD = 150°.
121. Угол ABC = 45°.
122. В трапеции ABCD, AD || BC.
123. Опустим перпендикуляры из B и C на AD.
124. Пусть BH ⊥ AD, CK ⊥ AD.
125. BH = CK.
126. Рассмотрим прямоугольный треугольник CKD.
127. Угол ∠ADC.
128. Угол ∠BCD = 150°.
129. Угол ∠ABC = 45°.
130. Пусть AD - нижнее основание.
131. Опустим из B высоту BH на AD.
132. Опустим из C высоту CK на AD.
133. BH = CK.
134. Угол ∠ABC = 45°.
135. Угол ∠BCD = 150°.
136. CD = 26.
137. Из вершины C проведем прямую CE, параллельную AB, так, чтобы E лежала на AD.
138. ABCE – параллелограмм.
139. AE = BC, AB = CE.
140. Угол CED = ∠DAB (соответственные).
141. Угол ∠ABC = 45°.
142. Угол ∠BCD = 150°.
143. Если AD || BC, то ∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠BCD + ∠ADC = 180°.
144. ∠BAD = 180° - 45° = 135°.
145. ∠ADC = 180° - 150° = 30°.
146. Теперь рассмотрим трапецию с основаниями AD и BC.
147. Проведем высоту BH из B на AD.
148. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH.
149. Угол ∠BAH = 135°. Это означает, что точка H лежит на продолжении AD за точку A.
150. Пусть BH ⊥ AD.
151. Рассмотрим треугольник BHA, где ∠BAH = 180° - 135° = 45°.
152. BH = AB * sin(45°). AH = AB * cos(45°).
153. Угол ∠ADC = 30°.
154. Проведем высоту CK из C на AD.
155. В прямоугольном треугольнике CKD: CK = CD * sin(30°) = 26 * 1/2 = 13.
156. KD = CD * cos(30°) = 26 * ] [ ext{sqrt}(3)/2 ] = 13[ ext{sqrt}(3) ].
157. Так как BH = CK = 13, то AB * sin(45°) = 13.
158. [ AB * rac{] [ ext{sqrt}(2)}{2} = 13 ]
159. [ AB = rac{13 imes 2}{] [ ext{sqrt}(2)} = rac{26}{] [ ext{sqrt}(2)} = rac{26] [ ext{sqrt}(2)}{2} = 13[ ext{sqrt}(2) ] ]

Ответ: 13√2