Билет №8 ФИ

1. Значение синуса, косинуса и тангенса углов 30°, 45°, 60°.

2. Доказать свойства противоположных сторон и углов параллелограмма.

(сформулировать теорему, выполнить чертеж, записать условие, доказать)

Теорема: В параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.

Условие:

• Дан параллелограмм ABCD.

Доказательство:

1. Проведем диагональ AC.
2. Рассмотрим треугольники ΔABC и ΔCDA.
3. AC – общая сторона.
4. ∠BAC = ∠DCA (как накрест лежащие углы при параллельных AB и CD и секущей AC).
5. ∠BCA = ∠DAC (как накрест лежащие углы при параллельных BC и AD и секущей AC).
6. Следовательно, ΔABC = ΔCDA по двум углам и прилежащей стороне (угол-сторона-угол).
7. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и BC = AD (противоположные стороны равны).
8. Также из равенства треугольников следует, что ∠ABC = ∠CDA (как соответствующие углы равных треугольников).
9. Аналогично, проведя диагональ BD, можно доказать равенство треугольников ΔABD и ΔCDB, из чего следует, что ∠DAB = ∠BCD.
10. Таким образом, противоположные стороны и углы параллелограмма равны.

3. Точки М и № являются серединами сторон АВ и ВС треугольника АВС, сторона АВ равна 32, сторона ВС равна 38, сторона АС равна 16. Найдите М№.

Решение:

1. MN – средняя линия треугольника ABC, соединяющая середины сторон AB и BC.
2. По свойству средней линии треугольника, она параллельна третьей стороне (AC) и равна половине этой стороны.
3. [ MN = rac{1}{2} AC ]
4. [ MN = rac{1}{2} imes 16 ]
5. [ MN = 8 ]

Ответ: 8

4. Высота АН ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и СН=8. Найдите высоту ромба.

Решение:

1. Сторона ромба CD = DH + CH = 21 + 8 = 29.
2. АН – высота ромба, проведенная к стороне CD.
3. Рассмотрим прямоугольный треугольник АНD.
4. По теореме Пифагора: [ AD^2 = AH^2 + DH^2 ]
5. Так как ABCD – ромб, все его стороны равны, поэтому AD = CD = 29.
6. [ 29^2 = AH^2 + 21^2 ]
7. [ 841 = AH^2 + 441 ]
8. [ AH^2 = 841 - 441 ]
9. [ AH^2 = 400 ]
10. [ AH = ] [ ext{sqrt}(400) = 20 ]

Ответ: 20