Билет №6 ФИ

1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников

Подобные треугольники – это треугольники, у которых соответствующие углы равны, а соответствующие стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников:

1. По двум углам (первый признак): Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2. По двум сторонам и углу между ними (второй признак): Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
3. По трем сторонам (третий признак): Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

2. Доказать признак параллелограмма (по точке пересечения диагоналей).

(сформулировать теорему, выполнить чертеж, записать условие, доказать)

Теорема: Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Условие:

• Дан четырехугольник ABCD.
• Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.
• AO = OC и BO = OD.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники ΔAOB и ΔCOD.
2. AO = OC (по условию).
3. BO = OD (по условию).
4. ∠AOB = ∠COD (как вертикальные углы).
5. Следовательно, ΔAOB = ΔCOD по двум сторонам и углу между ними (СУС).
6. Из равенства треугольников следует, что AB = CD и ∠BAO = ∠DCO (как накрест лежащие углы при пересечении прямых AB и CD секущей AC).
7. Рассмотрим треугольники ΔBOC и ΔDOA.
8. BO = OD (по условию).
9. OC = OA (по условию).
10. ∠BOC = ∠DOA (как вертикальные углы).
11. Следовательно, ΔBOC = ΔDOA по двум сторонам и углу между ними (СУС).
12. Из равенства треугольников следует, что BC = AD и ∠CBO = ∠ADO (как накрест лежащие углы при пересечении прямых BC и AD секущей BD).
13. Поскольку ∠BAO = ∠DCO, то прямые AB и CD параллельны (накрест лежащие углы равны).
14. Поскольку ∠CBO = ∠ADO, то прямые BC и AD параллельны (накрест лежащие углы равны).
15. Таким образом, у четырехугольника ABCD противоположные стороны попарно параллельны, следовательно, ABCD – параллелограмм.

3. В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 7 и 25 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Решение:

Используем теорему Пифагора: [ a^2 + b^2 = c^2 ], где a и b – катеты, c – гипотенуза.

Пусть a = 7, c = 25. Найдем b.

1. [ 7^2 + b^2 = 25^2 ]
2. [ 49 + b^2 = 625 ]
3. [ b^2 = 625 - 49 ]
4. [ b^2 = 576 ]
5. [ b = ] [ ext{sqrt}(576) = 24 ]

Ответ: 24

4. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите АВ, если AF=24, BF=7.

Решение:

Пусть ABCD – трапеция с основаниями AD и BC (AD || BC). AB – боковая сторона.

1. AF – биссектриса ∠A, BF – биссектриса ∠B.
2. В треугольнике ABF: ∠FAB + ∠FBA + ∠AFB = 180°.
3. Из свойств биссектрис углов трапеции, прилежащих к боковой стороне: AF ⊥ BF, то есть ∠AFB = 90°.
4. Это означает, что треугольник ABF – прямоугольный.
5. По теореме Пифагора для ΔABF: [ AB^2 = AF^2 + BF^2 ]
6. [ AB^2 = 24^2 + 7^2 ]
7. [ AB^2 = 576 + 49 ]
8. [ AB^2 = 625 ]
9. [ AB = ] [ ext{sqrt}(625) = 25 ]

Ответ: 25