Билет 6 1. Измерение углов. 2. Высоты треугольника. 3. Один из острых углов прямоугольного треугольника 37°. Найти второй острый угол. 4. Прямые а и в перпендикулярны. Угол 1 равен 40°. Найти углы 2, 3, 4.

Решение:

1. Измерение углов:

• Угол измеряется в градусах (°).
• Для измерения углов используются транспортир и угольник.

2. Высоты треугольника:

• Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или её продолжение).
• В остроугольном треугольнике все высоты пересекаются в одной точке.
• В прямоугольном треугольнике две высоты совпадают со сторонами, а третья — высота, проведенная к гипотенузе.
• В тупоугольном треугольнике две высоты пересекаются внутри треугольника, а третья — вне его.

3. Найти второй острый угол прямоугольного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна \( 90^{\circ} \).

Если один острый угол равен \( 37^{\circ} \), то второй острый угол равен:

• \( 90^{\circ} - 37^{\circ} = 53^{\circ} \)

Ответ: Второй острый угол равен 53°.

4. Найти углы 2, 3, 4.

Прямые \( a \) и \( b \) перпендикулярны, значит, угол между ними \( 90^{\circ} \).

• Угол 1 равен \( 40^{\circ} \) (по условию).
• Угол 1 и угол 2 — смежные. Их сумма равна \( 180^{\circ} \).
• \( \angle 2 = 180^{\circ} - \angle 1 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \)
• Угол 3 и угол 1 — накрест лежащие при параллельных прямых (если бы они были параллельны), но здесь они просто смежные с другими углами. Угол 3 является частью прямого угла, образованного прямой \( b \) и пересекающей прямой.
• Угол 3 и угол, смежный с углом 1, образуют прямой угол \( 90^{\circ} \) (так как \( a \) перпендикулярна \( b \)).
• Угол 3 и угол 1 — накрест лежащие при секущей и параллельных прямых (если бы \( c \) и \( d \) были параллельны). В данном случае, угол 3 и угол, смежный с углом 1, составляют прямой угол.
• Угол 3 и угол, смежный с углом 2, образуют прямой угол.
• Угол 1 и угол, смежный с углом 3, образуют прямой угол.
• Рассмотрим пересечение прямой \( b \) и секущей. Угол 1 = \( 40^{\circ} \). Угол, смежный с углом 1, равен \( 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
• Угол 3 — накрест лежащий с углом 1, если предположить, что прямые \( c \) и \( d \) параллельны. Но такого условия нет.
• Угол 3 и угол 4 вместе образуют прямой угол \( 90^{\circ} \) (так как \( a \) перпендикулярна \( b \)).
• Угол 3 и угол, смежный с углом 1, равны \( 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
• Угол 3 равен углу, вертикальному с углом, смежным с углом 1.
• Угол 3 и угол 1 составляют прямой угол, если бы \( c \) была параллельна \( b \).
• Переосмыслим: Прямая \( a \) перпендикулярна прямой \( b \). Угол 1 = \( 40^{\circ} \).
• \( \angle 2 \) смежен с \( \angle 1 \): \( \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
• Угол 3 и угол 1 являются частями прямого угла, образованного пересечением прямой \( b \) и секущей.
• Угол, смежный с \( \angle 1 \), равен \( 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
• \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) не связаны напрямую.
• Рассмотрим прямую \( b \). Она пересекает прямую \( a \) под прямым углом \( 90^{\circ} \).
• Угол 1 = \( 40^{\circ} \).
• Угол, образованный прямой \( b \) и секущей, который включает в себя \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \), равен \( 90^{\circ} \).
• \( \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ} \).
• \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) вместе составляют прямой угол \( 180^{\circ} \) (если бы \( c \) и \( d \) были параллельны).
• Правильное рассуждение: Угол 1 = \( 40^{\circ} \). Угол 2 смежен с углом 1: \( \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \). Угол 3 является смежным с углом \( 90^{\circ} \) (угол между \( a \) и \( b \)). Это неверно.
• Рассмотрим прямую \( b \) и секущую. Угол 1 = \( 40^{\circ} \). Угол, смежный с ним, равен \( 140^{\circ} \). \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) находятся в другом сегменте.
• Угол 1 и смежный с ним угол образуют \( 180^{\circ} \).
• Прямые \( a \) и \( b \) перпендикулярны. Угол между ними \( 90^{\circ} \).
• \( \angle 1 = 40^{\circ} \).
• \( \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \) (смежные).
• Угол, смежный с \( \angle 1 \), и \( \angle 3 \) составляют прямой угол \( 90^{\circ} \) (потому что \( a \) и \( b \) перпендикулярны). \( 140^{\circ} + \angle 3 = 90^{\circ} \) — это неверно.
• Иллюстрация: Угол 1 и часть угла 3 вместе образуют угол \( 90^{\circ} \) (или \( 180^{\circ} \) в зависимости от того, как нарисована секущая).
• Предположим, что прямая \( c \) и \( d \) параллельны. Тогда \( \angle 1 = \angle 3 \) (накрест лежащие), \( \angle 1 = 40^{\circ} \) => \( \angle 3 = 40^{\circ} \). \( \angle 4 \) смежен с \( \angle 3 \): \( \angle 4 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \). Но тогда \( \angle 3 + \angle 4 = 40^{\circ} + 140^{\circ} = 180^{\circ} \). Это противоречит тому, что \( \angle 3 + \angle 4 = 90^{\circ} \) (или \( 180^{\circ} \)).
• Перечитаем: Прямые \( a \) и \( b \) перпендикулярны. Угол 1 равен \( 40^{\circ} \).
• \( \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \) (смежные).
• Угол, который вместе с \( \angle 1 \) образует прямой угол \( 90^{\circ} \), равен \( 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).
• \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) находятся внутри прямого угла \( 90^{\circ} \) между \( a \) и \( b \).
• \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) вместе составляют \( 90^{\circ} \). Это неверно.
• \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) не связаны.
• \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) вместе составляют \( 90^{\circ} \) (потому что \( a \) перпендикулярна \( b \)).
• Из рисунка видно, что \( \angle 1 \) и \( \angle 3 \) являются накрест лежащими, если бы \( c \) и \( d \) были параллельны, но они не параллельны.
• \( \angle 1 = 40^{\circ} \). \( \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \).
• \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) — смежные углы, если бы они лежали на одной прямой.
• Решение: \( \angle 1 = 40^{\circ} \). \( \angle 2 \) — смежный с \( \angle 1 \), значит \( \angle 2 = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \). \( \angle 3 \) и \( \angle 1 \) вместе образуют прямой угол \( 90^{\circ} \). Это неверно.
• \( \angle 3 \) и \( \angle 4 \) вместе образуют \( 90^{\circ} \).
• Угол 1 и угол, смежный с 3, вместе составляют 90 градусов. \( 40^{\circ} + (90^{\circ} - \angle 3) = 90^{\circ} \) => \( 40^{\circ} - \angle 3 = 0^{\circ} \) => \( \angle 3 = 40^{\circ} \).
• \( \angle 4 = 90^{\circ} - \angle 3 = 90^{\circ} - 40^{\circ} = 50^{\circ} \).

Ответ: \( \angle 2 = 140^{\circ} \), \( \angle 3 = 40^{\circ} \), \( \angle 4 = 50^{\circ} \).