Билет № 6 1. Трапеция. Определение. Виды трапеций. Свойство равнобедренной трапеции. 2. Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки (формулировка и доказательство). 3. Подобны ли треугольники АВС и МКР если: АВ=3 см, ВС=5 см, СА=7 см, МК=4,5 см, КР=7,5 см, РМ = 10,5 см.

Билет № 6

1. Трапеция:

• Определение: Трапеция – это четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями, а непараллельные – боковыми сторонами.


• Виды трапеций:
  
  
  
  • Разносторонняя: боковые стороны и углы при основаниях неравны.
  
  
  • Равнобедренная: боковые стороны равны, углы при каждом основании равны.
  
  
  • Прямоугольная: одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям.
  
  
  
  


• Свойство равнобедренной трапеции: Углы при каждом основании равны. Диагонали равны.

2. Свойство отрезков касательных:

• Формулировка: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны друг другу.


• Доказательство: Пусть из точки P проведены касательные PA и PB к окружности с центром O. Треугольники PAO и PBO прямоугольные (по свойству касательной). У них гипотенуза PO – общая, а катеты AO и BO равны как радиусы. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Отсюда PA = PB.

3. Задача на подобие треугольников:

Дано:

• Треугольник ABC: AB=3 см, BC=5 см, CA=7 см.


• Треугольник MKP: MK=4,5 см, KP=7,5 см, PM=10,5 см.

Проверить: Подобны ли треугольники ABC и MKP?

Решение:

1. Найдем отношение сторон треугольника ABC: $$AB/BC = 3/5$$, $$BC/CA = 5/7$$, $$AB/CA = 3/7$$.


2. Найдем отношение сторон треугольника MKP: $$MK/KP = 4,5/7,5 = 45/75 = 3/5$$.


3. $$KP/PM = 7,5/10,5 = 75/105 = 15/21 = 5/7$$.


4. $$MK/PM = 4,5/10,5 = 45/105 = 9/21 = 3/7$$.


5. Сравним отношения сторон: $$AB/MK = 3/4.5 = 30/45 = 2/3$$.


6. $$BC/KP = 5/7.5 = 50/75 = 2/3$$.


7. $$CA/PM = 7/10.5 = 70/105 = 2/3$$.


8. Так как все три отношения сторон равны ($$AB/MK = BC/KP = CA/PM = 2/3$$), то треугольники ABC и MKP подобны по третьему признаку подобия (по трем сторонам).

Ответ: Да, треугольники подобны.