Билет № 7 1. Прямоугольник. Свойства прямоугольника. Квадрат. 2. Теорема о вписанном угле (формулировка и доказательство). 3. Диагонали трапеции ABCD с основаниями АВ и CD пересекаются в точке О. Найдите: АВ, если ОВ=4 см, OD=10 см, DC=25 см.

Билет № 7

1. Прямоугольник и квадрат:

• Прямоугольник – это четырехугольник, у которого все углы прямые (по 90°). Свойства: противоположные стороны равны и параллельны, диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.


• Квадрат – это частный случай прямоугольника (и ромба), у которого все стороны равны.

2. Теорема о вписанном угле:

• Формулировка: Величина вписанного угла, опирающегося на дугу окружности, равна половине величины этой дуги (или половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу).


• Доказательство: Рассмотрим три случая: 1) Центр окружности лежит на одной из сторон угла. 2) Центр окружности лежит внутри угла. 3) Центр окружности лежит вне угла. В каждом случае, используя свойства равнобедренных треугольников и центральных углов, доказывается, что вписанный угол в два раза меньше центрального.

3. Задача:

Дано:

• Трапеция ABCD, AB || CD.


• Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.


• OB = 4 см, OD = 10 см, DC = 25 см.

Найти: AB.

Решение:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD.


2. Углы AOB и COD равны как вертикальные.


3. Углы OAB и OCD равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC.


4. Углы OBA и ODC равны как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BD.


5. Следовательно, треугольники AOB и COD подобны по первому признаку подобия (по двум углам).


6. Из подобия следует отношение сторон: $$\frac{AB}{CD} = \frac{OB}{OD} = \frac{AO}{OC}$$.


7. Подставим известные значения: $$\frac{AB}{25} = \frac{4}{10}$$.


8. $$AB = 25 \times \frac{4}{10} = 25 \times 0.4 = 10$$ см.

Ответ: 10 см.