Билет №7: 1. Сформулировать теорему о площади трапеции. 2. Признаки равенства прямоугольных треугольников виды (с рисунками).. 3. Отрезки АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол АСВ равен 53°. Найдите угол AOD. Ответ дайте в градусах. 4. ABCD прямоугольник. О — точка пересечения диагоналей. Найдите стороны ДАОВ, если CD = 5 см, а АС= 8 см.

Решение:

Билет №7

1. Теорема о площади трапеции: Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту. Формула: S = \( \frac{a+b}{2} \cdot h \), где a и b – основания трапеции, h – высота.
2. Признаки равенства прямоугольных треугольников:
   • По двум катетам: Если два катета одного прямоугольного треугольника равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и гипотенузе: Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника равны катету и гипотенузе другого, то такие треугольники равны.
   • По катету и острому углу: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
   • По гипотенузе и острому углу: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. Угол AOD: Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. Центральный угол AOB также опирается на дугу AB. Угол AOB = 2 * Угол ACB = 2 * 53° = 106°. Углы AOD и BOC равны как вертикальные. Углы AOB и COD равны как вертикальные. Углы AOD и BOC являются смежными с углами AOB и COD. Сумма углов вокруг точки О равна 360°. Так как AC и BD — диаметры, то треугольники AOD и BOC равнобедренные, а треугольники AOB и COD — равнобедренные. Угол COD = 180° - Угол AOD. Угол AOD + Угол COD = 180°. Угол AOB = 106°. Угол COD = 180° - 106° = 74°. Угол AOD = 180° - 74° = 106°. (Ошибка в рассуждении, AC и BD - диаметры. Угол ACB = 53°. Дуга AB = 2*53 = 106. Центральный угол AOB = 106. Угол CAD = Угол CBD (опираются на дугу CD). Угол BAC = Угол BDC (опираются на дугу BC). Угол ABC = Угол ADC (опираются на дугу AC). Угол ADB = Угол ACB = 53 (опираются на дугу AB). Угол ACD = Угол ABD. AC и BD - диаметры, значит O - центр окружности. Треугольник ABC - прямоугольный, угол C=90. Угол BAC = 90 - Угол ABC. Угол ACB = 53. Угол AOB - центральный, опирается на дугу AB. Вписанный угол ACB опирается на дугу AB. Угол AOB = 2 * Угол ACB = 2 * 53 = 106. Угол AOD = 180 - Угол AOB = 180 - 106 = 74. (Повторное рассуждение, AC и BD - диаметры. Угол ACB = 53. Угол ADB = Угол ACB = 53 (опираются на дугу AB). Угол AOD = 180 - Угол ADB = 180 - 53 = 127 (неверно). Угол BAC = 90 - Угол ABC. Угол CAD = Угол CBD. Угол ACD = Угол ABD. Угол BCD = 90. Угол BCA = 53. Угол ACD = 90 - 53 = 37. Угол ABD = 37. Угол BAC = 90 - Угол ABC. Угол ABC = 90 - Угол BAC. Угол ACB = 53. Угол AOB - центральный, опирается на дугу AB. Угол ACB = 53. Угол AOB = 2 * 53 = 106. Угол AOD = 180 - Угол AOB = 180 - 106 = 74.
4. Стороны ДАОВ: ABCD - прямоугольник, O - точка пересечения диагоналей. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. AC = BD = 8 см. AO = BO = CO = DO = AC/2 = 8/2 = 4 см. CD = AB = 5 см. В треугольнике AOB: AO = BO = 4 см. В треугольнике COD: CO = DO = 4 см. CD = 5 см. В треугольнике BOC: BO = CO = 4 см. В треугольнике AOD: AO = DO = 4 см.

Ответ: 1. Площадь трапеции равна половине произведения суммы её оснований на высоту. 2. Признаки равенства прямоугольных треугольников: по двум катетам, по катету и гипотенузе, по катету и острому углу, по гипотенузе и острому углу. 3. 74°. 4. AO = BO = CO = DO = 4 см.