Билет №8: 1. Свойства прямоугольных треугольников. 2. Вписанная и описанная окружности (определение с примерами). 3. Периметр квадрата равен 32см. Найдите площадь квадрата. 4. В прямоугольном треугольнике АВС (угол C = 90°) АВ = 41 см, АС = 9 см. Точки М и К- середины сторон АВ и АС соответственно. Найдите: длину отрезка МК

Решение:

Билет №8

1. Свойства прямоугольных треугольников:
   • Сумма острых углов равна 90°.
   • Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.
   • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
2. Вписанная и описанная окружности:
   • Вписанная окружность — это окружность, которая касается всех сторон многоугольника. Центр вписанной окружности равноудален от всех сторон многоугольника. Например, вписанная окружность в треугольник касается всех трех его сторон.
   • Описанная окружность — это окружность, проходящая через все вершины многоугольника. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин многоугольника. Например, описанная окружность вокруг треугольника проходит через все его три вершины.
3. Площадь квадрата: Периметр квадрата P = 4a, где a – сторона квадрата. 32 = 4a, следовательно, a = 32 / 4 = 8 см. Площадь квадрата S = a^2 = 8^2 = 64 см^2.
4. Длина отрезка МК: Точки М и К — середины сторон АВ и АС соответственно. Отрезок МК является средней линией треугольника АВС, параллельной стороне ВС. Длина средней линии равна половине длины параллельной ей стороны. Сначала найдем катет ВС по теореме Пифагора: \( BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{41^2 - 9^2} = \sqrt{1681 - 81} = \sqrt{1600} = 40 \) см. Длина отрезка МК = BC / 2 = 40 / 2 = 20 см.

Ответ: 1. Свойства прямоугольных треугольников: сумма острых углов 90°, катет против угла 30° равен половине гипотенузы, медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. 2. Вписанная окружность касается сторон, описанная проходит через вершины. 3. 64 см^2. 4. 20 см.