Билет №9: 1. Признаки подобия треугольников. 2. Сформулировать теорему о площади квадрата (с рисунком и условием площ. 3. Отрезки АС и BD - диаметры окружности с центром О. Угол AOD равен 108°. Найдите угол АСВ. Ответ дайте в градусах. 4. В прямоугольном треугольнике с острым углом 45° гипотенуза равна 32см. Найдите площадь этого треугольника.

Решение:

Билет №9

1. Признаки подобия треугольников:
   • По двум углам: Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
   • По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
   • По трем сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
2. Теорема о площади квадрата: Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Формула: S = a^2, где a – сторона квадрата.
3. Угол АСВ: AC и BD – диаметры окружности с центром О. Угол AOD = 108°. Угол AOD и угол BOC равны как вертикальные, значит, угол BOC = 108°. Угол AOD и угол COD – смежные, их сумма равна 180°. Угол COD = 180° - 106° = 74°. Угол AOB = Угол COD = 74° (вертикальные). Угол АСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу AB. Центральный угол AOB также опирается на дугу AB. Угол АСВ = Угол AOB / 2 = 74° / 2 = 37°.
4. Площадь прямоугольного треугольника: Дан прямоугольный треугольник с острым углом 45°. Следовательно, второй острый угол также равен 45° (90° - 45°). Треугольник является равнобедренным. Катеты равны. Обозначим катеты как 'a'. По теореме Пифагора: a^2 + a^2 = 32^2. 2a^2 = 1024. a^2 = 1024 / 2 = 512. Площадь прямоугольного треугольника S = \( \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{1}{2} \cdot a^2 \). S = \( \frac{1}{2} \cdot 512 = 256 \) см^2.

Ответ: 1. Признаки подобия треугольников: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трем сторонам. 2. Площадь квадрата равна квадрату его стороны. 3. 37°. 4. 256 см^2.