Билет 7: 1. Смежные и вертикальные углы. 2. Свойства прямоугольных треугольников. 3. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 38 см, а угол В равен 60°. Найти катет ВС. 4. На рисунке ACIIDB, CO=OD. Докажите равенство треугольников COA и DOB.

Решение:

1. Смежные и вертикальные углы

Смежные углы — это два угла, у которых одна сторона общая, а две другие стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.

Вертикальные углы — это два угла, у которых стороны одного угла являются продолжениями сторон другого угла. Вертикальные углы равны.

2. Свойства прямоугольных треугольников

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Гипотенуза больше каждого из катетов.
3. В прямоугольном треугольнике, который имеет острый угол 30°, катет, лежащий против этого угла, равен половине гипотенузы.

3. Нахождение катета ВС

Дано: \( \triangle ABC \) — прямоугольный, \( \angle C = 90^{\circ} \), \( AB = 38 \) см, \( \angle B = 60^{\circ} \).

Найти: \( BC \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \):

\( \cos B = \frac{BC}{AB} \)

\( BC = AB \cdot \cos B \)

\( BC = 38 \cdot \cos 60^{\circ} \)

\( BC = 38 \cdot \frac{1}{2} \)

\( BC = 19 \) см

Ответ: 19 см.

4. Доказательство равенства треугольников COA и DOB

Дано: \( AC \parallel DB \), \( CO = OD \).

Доказать: \( \triangle COA = \triangle DOB \).

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle COA \) и \( \triangle DOB \).
2. По условию, \( CO = OD \).
3. Так как \( AC \parallel DB \), то \( \angle ACO = \angle BDO \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AC \) и \( DB \) и секущей \( CD \).
4. Также, \( \angle CAO = \angle DBO \) как накрест лежащие углы при параллельных прямых \( AC \) и \( DB \) и секущей \( AB \).
5. Следовательно, \( \triangle COA = \triangle DOB \) по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Доказано.