Билет 8. 1. Определение медианы, биссектрисы и высоты треугольника. 2. Сформулировать признаки параллельных прямых. Доказать один по выбору обучающегося. 3. Периметр равнобедренного треугольника 19 см, а основание 7 см. Найти боковую сторону треугольника. 4. В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°, а биссектриса этого угла 8 см. Найдите длину катета, лежащего против этого угла.

Билет 8.

1. Медиана, биссектриса и высота треугольника:

• Медиана: Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.
• Биссектриса: Отрезок, который делит угол треугольника пополам и идет из вершины к противоположной стороне.
• Высота: Перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону (или ее продолжение).

2. Признаки параллельных прямых:

Первый признак: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) соответственные углы равны, то эти прямые параллельны.

Второй признак: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.

Третий признак: Если при пересечении двух прямых третьей (трансверсалью) сумма односторонних углов равна 180°, то эти прямые параллельны.

Доказательство первого признака (на выбор):

Пусть даны две прямые $$a$$ и $$b$$, и секущая $$c$$. Предположим, что соответственные углы $$\alpha$$ и $$\beta$$ равны ( $$\alpha = \beta$$ ). Наша цель — доказать, что $$a \parallel b$$.

Угол $$\beta$$ и угол $$\gamma$$ (смежный с $$\alpha$$) являются вертикальными. То есть, $$\beta = \gamma$$.

Так как $$\alpha = \beta$$ (по условию) и $$\beta = \gamma$$, то $$\alpha = \gamma$$.

Углы $$\alpha$$ и $$\gamma$$ являются накрест лежащими. Если накрест лежащие углы равны, то прямые $$a$$ и $$b$$ параллельны (по второму признаку параллельности).

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника:

Периметр равнобедренного треугольника равен сумме всех его сторон. Пусть $$b$$ — длина боковой стороны.

Периметр = основание + 2 * боковая сторона

$$19 \text{ см} = 7 \text{ см} + 2b$$

$$2b = 19 \text{ см} - 7 \text{ см}$$

$$2b = 12 \text{ см}$$

$$b = 12 \text{ см} / 2$$

$$b = 6 \text{ см}$$

Ответ: Боковая сторона треугольника равна 6 см.

4. Длина катета:

В прямоугольном треугольнике острый угол равен 60°. Биссектриса этого угла проведена, ее длина 8 см. Найдем катет, лежащий против этого угла.

Пусть угол A = 60°. Биссектриса AD делит угол A на два равных угла: ∠CAD = ∠DAB = 60° / 2 = 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Угол ABD = 90° - 60° = 30°. Это означает, что треугольник ABD является равнобедренным (по свойству, что против равных углов лежат равные стороны), но углы B и A равны 30 и 60, что противоречит условию. Значит, 60° — это один из острых углов, а не прямой угол. Обозначим его как угол A = 60°.

Пусть треугольник ABC — прямоугольный, ∠C = 90°, ∠A = 60°. Тогда ∠B = 30°.

Биссектриса AL делит угол A на два угла по 30°.

Рассмотрим треугольник ABL. Угол LAB = 30°, угол ABL = 30°. Следовательно, треугольник ABL равнобедренный, и AL = LB = 8 см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Нам нужно найти катет BC, который лежит против угла A.

В прямоугольном треугольнике ABC:

expression{ \(\text{tg}\)(A) = \(\frac{BC}{AC}\) }

expression{ \(\text{tg}\)\(60^\text{o}\) = \(\frac{BC}{AC}\) }

expression{ \(\text{tg}\)\(60^\text{o}\) = \(\text{cot}\)\(30^\text{o}\) = \(\frac{BC}{AC}\) }

Также, в треугольнике ABL, AL = 8 см, ∠LAB = 30°, ∠ABL = 30°, ∠ALB = 180° - 30° - 30° = 120°.

Угол CLB = 180° - 120° = 60°.

В прямоугольном треугольнике BCL, ∠C = 90°, ∠B = 30°, ∠CLB = 60°.

Катет BC лежит против угла L.

Рассмотрим треугольник ABC. У нас есть ∠A = 60°, ∠B = 30°, ∠C = 90°.

Биссектриса AL делит ∠A на 30°. Точка L лежит на стороне BC.

В треугольнике ABL: ∠ABL = 30°, ∠BAL = 30°, значит, треугольник ABL равнобедренный и AL = LB = 8 см.

Катет BC = BL + LC.

В прямоугольном треугольнике ABC, $$\text{sin}(A) = \frac{BC}{AB}$$ и $$\text{cos}(A) = \frac{AC}{AB}$$.

В прямоугольном треугольнике ABC, $$\text{tg}(A) = \frac{BC}{AC}$$.

В прямоугольном треугольнике ABL, ∠B = 30°, ∠BAL = 30°. Это неправильное предположение, потому что ABL не является прямоугольным треугольником.

Правильное рассуждение:

Пусть ∠C = 90°, ∠A = 60°, ∠B = 30°. Биссектриса AL делит ∠A на два угла по 30°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACL. ∠C = 90°, ∠CAL = 30°.

В этом треугольнике AL — гипотенуза, равная 8 см.

Катет CL лежит против угла CAL = 30°.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

expression{ CL = \(\frac{AL}{2}\) }

expression{ CL = \(\frac{8 \text{ см}}{2}\) }

expression{ CL = 4 \(\text{ см}\) }

Теперь найдем катет AC, который прилежит к углу CAL = 30°.

expression{ \(\text{AC}\) = AL \(\times\) \(\text{cos}\)\(30^\text{o}\) }

expression{ \(\text{AC}\) = 8 \(\text{ см}\) \(\times\) \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) }

expression{ \(\text{AC}\) = 4\(\text{ \text{\sqrt{3}}}\) \(\text{ см}\) }

Теперь рассмотрим весь прямоугольный треугольник ABC.

Угол A = 60°.

Катет BC лежит против угла A.

expression{ \(\text{tg}\)(A) = \(\frac{BC}{AC}\) }

expression{ BC = AC \(\times\) \(\text{tg}\)\(60^\text{o}\) }

expression{ BC = 4\(\text{ \text{\sqrt{3}}}\) \(\text{ см}\) \(\times\) \(\text{ \text{\sqrt{3}}}\) }

expression{ BC = 4 \(\times\) 3 \(\text{ см}\) }

expression{ BC = 12 \(\text{ см}\) }

Ответ: Длина катета, лежащего против этого угла, равна 12 см.