Билет 7. 1. Определение равнобедренного треугольника. Равносторонний треугольник. Сформулировать свойства равнобедренного треугольника. 2. Доказать свойства смежных и вертикальных углов. 3. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна 38 см, а ∠B=60°. Найдите катет BC. 4. AC || DB, CO=OD. Доказать, что треугольники COA и DOB равны.

Билет 7

1. Равнобедренный треугольник — это треугольник, у которого две стороны равны. Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны (следовательно, все углы равны 60°).
Свойства равнобедренного треугольника:
1. Углы при основании равны.
2. Медиана, биссектриса и высота, проведенные к основанию, совпадают.
3. Высота, проведенная к основанию, делит его пополам.
4. Биссектриса угла при вершине является медианой и высотой.

2. Свойства смежных и вертикальных углов:
1. Смежные углы — это углы, у которых одна сторона общая, а другие стороны лежат на одной прямой. Сумма смежных углов равна 180°.
2. Вертикальные углы — это углы, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон другого. Вертикальные углы равны.

3. Дано:
Прямоугольный треугольник ABC.
AB = 38 см.
\( \angle B = 60^{\circ} \)
Найти: BC

Решение:
В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Угол A = 90° - 60° = 30°. Следовательно, BC — катет, лежащий против угла A.
\( BC = AB \cdot \sin(A) \)
\( BC = 38 \cdot \sin(30^{\circ}) \)
\( BC = 38 \cdot \frac{1}{2} \)
\( BC = 19 \) см.

Ответ: 19 см.

4. Дано:
AC || DB
CO = OD
Доказать: \( \triangle COA = \triangle DOB \)

Доказательство:
1. Так как AC || DB, то \( \angle CAO = \angle BDO \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DB и секущей AD).
2. Также \( \angle ACO = \angle DBO \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AC и DB и секущей BC).
3. Нам дано, что CO = OD.
4. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), \( \triangle COA = \triangle DOB \).