Билет №12 Дайте определение прямоугольного треугольника и его элементов. Какой угол называется внешним углом треугольника? Сформулируйте и докажите свойство внешнего угла треугольника. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а меньший катет равен 14 см. Найдите гипотенузу. В треугольнике АВС угол А в 4 раза меньше угла В, а угол С на 90° меньше угла В. а) Найдите углы треугольника. б) Сравните стороны АВ и ВС.

Билет №12

• Дайте определение прямоугольного треугольника и его элементов.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90 градусам). Элементы прямоугольного треугольника: катеты (стороны, образующие прямой угол) и гипотенуза (сторона, противолежащая прямому углу).

• Какой угол называется внешним углом треугольника? Сформулируйте и докажите свойство внешнего угла треугольника.

Внешний угол треугольника — это угол, смежный с одним из углов этого треугольника.

Свойство внешнего угла треугольника: Внешний угол треугольника равен сумме двух других углов треугольника, не смежных с ним.

Доказательство: Пусть дан треугольник ABC. Внешний угол при вершине C обозначим как ∠BCK. Тогда ∠BCK + ∠BCA = 180° (как смежные углы). Сумма углов треугольника ABC равна 180°, то есть ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Из этих двух равенств следует, что ∠BCK = ∠BAC + ∠ABC.

• Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а меньший катет равен 14 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике один угол равен 90°, другой 60°, значит, третий угол равен 180° - 90° - 60° = 30°.
2. Меньший катет лежит против угла 30°. Обозначим меньший катет как a = 14 см, а гипотенузу как c.
3. Используем определение синуса угла: sin(30°) = a / c. sin(30°) = 1/2.
4. Тогда 1/2 = 14 / c, следовательно, c = 2 * 14 = 28 см.

Ответ: Гипотенуза равна 28 см.

• В треугольнике ABC угол A в 4 раза меньше угла B, а угол C на 90° меньше угла B.

1. а) Найдите углы треугольника.

Решение:

1. Пусть угол A = x, тогда угол B = 4x, а угол C = 4x - 90°.
2. Сумма углов треугольника равна 180°: x + 4x + (4x - 90°) = 180°.
3. Упрощаем уравнение: 9x - 90° = 180°.
4. Находим x: 9x = 270°, x = 30°.
5. Вычисляем угол A: A = 30°.
6. Вычисляем угол B: B = 4 * 30° = 120°.
7. Вычисляем угол C: C = 120° - 90° = 30°.

Ответ: Углы треугольника: A = 30°, B = 120°, C = 30°.

1. б) Сравните стороны AB и BC.

Решение:

1. Так как угол A = углу C = 30°, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC.
2. Следовательно, стороны AB и BC равны.

Ответ: AB = BC.