Билет №13 Дайте определение прямоугольного треугольника, сформулируйте свойства прямоугольного треугольника (без доказательства), сделайте чертеж. Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету. Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника. На рисунке: ∠ABE=104°, ZDCF = 76°, AC = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС.

Билет №13

• Дайте определение прямоугольного треугольника, сформулируйте свойства прямоугольного треугольника (без доказательства), сделайте чертеж.

Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого один из углов прямой (равен 90 градусов).

Свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора).
3. Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

• Докажите признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету.

Признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Доказательство: Пусть даны два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1, у которых ∠C = ∠C1 = 90°, AB = A1B1 и AC = A1C1. По теореме Пифагора BC = √(AB^2 - AC^2) и B1C1 = √(A1B1^2 - A1C1^2). Так как AB = A1B1 и AC = A1C1, то BC = B1C1. Следовательно, треугольники ABC и A1B1C1 равны по трем сторонам.

• Внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 115°. Найдите углы треугольника.

Решение:

1. Внешний угол при основании равен 115°, значит, внутренний угол при основании равен 180° - 115° = 65°.
2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, второй угол при основании тоже равен 65°.
3. Угол при вершине равен 180° - 65° - 65° = 50°.

Ответ: Углы треугольника: 65°, 65°, 50°.

• На рисунке: ∠ABE=104°, ∠DCF = 76°, AC = 12 см. Найдите сторону АВ треугольника АВС.

Решение:

1. Найдем угол ABC: ∠ABC = 180° - ∠ABE = 180° - 104° = 76°.
2. Найдем угол ACB: ∠ACB = 180° - ∠DCF = 180° - 76° = 104°.
3. Найдем угол BAC: ∠BAC = 180° - ∠ABC - ∠ACB = 180° - 76° - 104° = 0°. Ошибка в условии, сумма углов ABC и ACB равна 180 градусам. Скорректируем угол DCF. ∠DCF = 180 - 76 = 104 градуса. ∠ACB = 76°. Тогда ∠BAC = 180° - 76° - 76° = 28°.
4. По теореме синусов: AB / sin(∠ACB) = AC / sin(∠ABC).
5. AB / sin(76°) = 12 / sin(76°).
6. Следовательно, AB = 12 см.

Ответ: AB = 12 см.