Билет №11 Какие прямые называются перпендикулярными? Как построить перпендикулярные прямые? Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника. В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5 - 2. Найдите стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АС внешний угол при вершине А равен 120°, АВ = 5 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Билет №11

• Какие прямые называются перпендикулярными? Как построить перпендикулярные прямые?

Перпендикулярные прямые — это прямые, которые пересекаются под прямым углом (90 градусов). Чтобы построить перпендикулярные прямые, можно использовать угольник или транспортир.

• Сформулируйте и докажите теорему о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника: Сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Доказательство: Рассмотрим треугольник ABC. Проведем через вершину B прямую DE, параллельную стороне AC. Тогда ∠DBA = ∠BAC (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB) и ∠EBC = ∠BCA (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых DE и AC и секущей BC). Сумма углов DBA, ABC и EBC равна 180 градусам, так как они образуют развернутый угол. Значит, ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°.

• В равнобедренном треугольнике с периметром 48 см боковая сторона относится к основанию как 5:2. Найдите стороны треугольника.

Решение:

1. Пусть боковая сторона равна 5x, тогда основание равно 2x.
2. Периметр треугольника равен сумме всех его сторон: 5x + 5x + 2x = 48.
3. Упрощаем уравнение: 12x = 48.
4. Находим x: x = 48 / 12 = 4.
5. Вычисляем боковую сторону: 5x = 5 * 4 = 20 см.
6. Вычисляем основание: 2x = 2 * 4 = 8 см.

Ответ: Боковые стороны равны 20 см, основание равно 8 см.

• В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC внешний угол при вершине A равен 120°, AB = 5 см. Найдите длину гипотенузы треугольника.

Решение:

1. Внешний угол при вершине A равен 120°, значит внутренний угол A равен 180° - 120° = 60°.
2. В прямоугольном треугольнике ABC (угол C = 90°) угол B равен 180° - 90° - 60° = 30°.
3. Катет AB лежит против угла 30°, значит, гипотенуза AC в два раза больше катета AB: AC = 2 * AB = 2 * 5 = 10 см.

Ответ: Длина гипотенузы AC равна 10 см.