Билет №4. 1.Ромб. Свойства ромба. 2. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. 3.В ромбе АВСД биссектриса угла ВАС пересекает сторону ВС и диагональ ВД соответственно в точках М и К, угол АМС равен 120°. Найти величину угла АКВ. 4. Через концы хорды АВ, равной радиусу окружности, проведены две касательные, пересекающие в точке С. Найти угол ACB.

Так как AC — биссектриса угла ∠BAD, то ∠BAC = ∠CAD.

В ромбе противоположные углы равны, следовательно, ∠BCD = ∠BAD.

Биссектриса делит угол пополам, поэтому ∠BCA = ∠DCA.

Рассмотрим треугольник AMC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠MAC = 180° - ∠AMC - ∠ACM.

∠MAC = 180° - 120° - ∠ACM = 60° - ∠ACM.

Так как ∠BAC = ∠MAC, то ∠BAC = 60° - ∠ACM.

Рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠ABC = 180° - ∠BAC - ∠BCA.

∠ABC = 180° - (60° - ∠ACM) - ∠ACM = 120°.

В ромбе противоположные углы равны, следовательно, ∠ABC = ∠ADC = 120°.

Рассмотрим треугольник AKD. Сумма углов в треугольнике равна 180°, следовательно, ∠AKD = 180° - ∠KAD - ∠ADK.

∠AKD = 180° - (60° - ∠ACM) - 60° = 60° + ∠ACM.

Так как ∠AKB и ∠AKD — смежные, то ∠AKB = 180° - ∠AKD.

∠AKB = 180° - (60° + ∠ACM) = 120° - ∠ACM.

Рассмотрим треугольник BOC. Так как BO и OC — половины диагоналей ромба, а диагонали ромба пересекаются под прямым углом, то ∠BOC = 90°.

Следовательно, ∠AKB = 90°.

Угол AKB равен 90°.

Хорда AB равна радиусу окружности, следовательно, треугольник AOB, где O - центр окружности, является равносторонним.

Следовательно, угол AOB равен 60°.

Угол между касательными, проведенными через концы хорды, равен центральному углу, опирающемуся на эту хорду.

Следовательно, угол ACB равен 60°.