23. Биссектриса угла $$A$$ параллелограмма $$ABCD$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Найдите периметр параллелограмма, если $$BK = 7$$, $$CK = 12$$.

Пусть дан параллелограмм $$ABCD$$. Биссектриса угла $$A$$ пересекает сторону $$BC$$ в точке $$K$$. Известно, что $$BK = 7$$ и $$CK = 12$$. Требуется найти периметр параллелограмма $$ABCD$$. 1. **Находим сторону $$BC$$.** Сторона $$BC$$ состоит из отрезков $$BK$$ и $$CK$$. Значит, $$BC = BK + CK = 7 + 12 = 19$$. 2. **Доказываем, что треугольник $$ABK$$ равнобедренный.** Так как $$AK$$ – биссектриса угла $$A$$, то $$\angle BAK = \angle KAD$$. Углы $$\angle BKA$$ и $$\angle KAD$$ являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых $$AD$$ и $$BC$$ и секущей $$AK$$. Следовательно, $$\angle BKA = \angle KAD$$. Тогда $$\angle BAK = \angle BKA$$, а это означает, что треугольник $$ABK$$ равнобедренный с основанием $$AK$$. 3. **Находим сторону $$AB$$.** В равнобедренном треугольнике $$ABK$$ стороны $$AB$$ и $$BK$$ равны, то есть $$AB = BK = 7$$. 4. **Находим периметр параллелограмма $$ABCD$$.** Периметр параллелограмма $$ABCD$$ равен $$P = 2(AB + BC) = 2(7 + 19) = 2 \cdot 26 = 52$$. **Ответ:** Периметр параллелограмма равен **52**.