25. Точки $$M$$ и $$N$$ лежат на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины $$A$$. Найдите радиус окружности, проходящей через точки $$M$$ и $$N$$ и касающейся луча $$AB$$, если $$\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}$$.

Пусть $$M$$ и $$N$$ лежат на стороне $$AC$$ треугольника $$ABC$$ так, что $$AM = 9$$, $$AN = 11$$. Окружность проходит через точки $$M$$ и $$N$$ и касается луча $$AB$$ в точке $$P$$. Необходимо найти радиус окружности, если $$\cos \angle BAC = \frac{\sqrt{11}}{6}$$. 1. **Применим теорему о касательной и секущей:** Пусть $$AP$$ — касательная к окружности, а $$AN$$ — секущая. Тогда $$AP^2 = AM \cdot AN$$. Подставим известные значения: $$AP^2 = 9 \cdot 11 = 99$$. Следовательно, $$AP = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$$. 2. **Применим теорему косинусов для треугольника $$APN$$:** $$PN^2 = AP^2 + AN^2 - 2 \cdot AP \cdot AN \cdot \cos \angle PAN$$. Подставим известные значения: $$PN^2 = 99 + 121 - 2 \cdot 3\sqrt{11} \cdot 11 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = 220 - 11 \cdot 11 = 220 - 121 = 99$$. Следовательно, $$PN = \sqrt{99} = 3\sqrt{11}$$. 3. **Определяем тип треугольника $$APN$$:** Так как $$AP = PN = 3\sqrt{11}$$, то треугольник $$APN$$ равнобедренный с основанием $$AN$$. Угол $$\angle APN = \angle PAN$$, следовательно $$\angle APN = \angle BAC$$. 4. **Находим синус угла $$\angle BAC$$:** $$\sin^2 \angle BAC + \cos^2 \angle BAC = 1$$, следовательно, $$\sin^2 \angle BAC = 1 - \cos^2 \angle BAC = 1 - \left(\frac{\sqrt{11}}{6}\right)^2 = 1 - \frac{11}{36} = \frac{25}{36}$$. Значит, $$\sin \angle BAC = \sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}$$. 5. **Применим теорему синусов для треугольника $$APN$$:** $$\frac{AN}{\sin \angle APN} = 2R$$, где $$R$$ — радиус описанной окружности. Подставим известные значения: $$\frac{11}{\frac{5}{6}} = 2R$$. Тогда $$2R = \frac{11 \cdot 6}{5} = \frac{66}{5} = 13.2$$. Следовательно, $$R = \frac{13.2}{2} = 6.6$$. **Ответ:** Радиус окружности равен **6.6**.