Биссектриса угла трапеции делит одну её боковую сторону пополам. Найдите другую боковую сторону этой трапеции, если её основания равны a и b.

По рисунку биссектриса проведена из вершины при большем основании и делит противоположную боковую сторону пополам. Обозначим основания через \(a\) и \(b\), а искомую боковую сторону — через \(x\). Пусть угол при нижнем основании равен \(\theta\), высота трапеции — \(h\), а горизонтальная проекция искомой боковой стороны — \(p\).

Так как боковая сторона длины \(x\) образует с основанием угол \(\theta\), имеем \(p=x\cos\theta\) и \(h=x\sin\theta\).

Точка пересечения биссектрисы с другой боковой стороной — её середина, значит её высота над основанием равна \(h/2\). Биссектриса образует с основанием угол \(\theta/2\), поэтому её горизонтальная координата на этой высоте равна \((h/2)\cot(\theta/2)\). По формуле \(\cot(\theta/2)=(1+\cos\theta)/\sin\theta\) получаем координату \(x(1+\cos\theta)/2=(x+p)/2\).

С другой стороны, координата середины боковой стороны равна \((p+a+b)/2\). Приравнивая выражения, получаем \((x+p)/2=(p+a+b)/2\), откуда \(x=a+b\).

Ответ: другая боковая сторона равна \(a+b\).