Основания трапеции равны a и b (a < b). Найдите боковую сторону трапеции, если один из углов при этой стороне в 2 раза больше противоположного от него угла трапеции.

По рисунку искомая боковая сторона — \(AB=x\), угол при вершине \(B\) равен \(2\alpha\), а противоположный ему угол \(D\) равен \(\alpha\). Углы при одной боковой стороне трапеции supplementary: \(\angle A+\angle B=180^\circ\). Поэтому \(\angle A=180^\circ-2\alpha\).

Опустим высоты из вершин верхнего основания. Если высота равна \(h\), то горизонтальные проекции боковых сторон на большее основание равны \(h\cot\angle A\) и \(h\cot\alpha\). Их сумма равна разности оснований:

\(b-a=h(\cot(180^\circ-2\alpha)+\cot\alpha)=h(\cot\alpha-\cot2\alpha)\).

Используем тождество \(\cot\alpha-\cot2\alpha=1/\sin2\alpha\). Тогда \(h=(b-a)\sin2\alpha\). В прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(AB=x\) высота равна \(h=x\sin\angle A=x\sin2\alpha\). Следовательно, \(x=b-a\).

Ответ: искомая боковая сторона равна \(b-a\).