Одна из диагоналей трапеции равна сумме её оснований и образует с ними углы 66°. Найдите угол между диагоналями этой трапеции.

Обозначим основания трапеции через \(a\) и \(b\), а диагональ, образующую с основаниями углы \(66^\circ\), — через \(d\). Поскольку основания параллельны, горизонтальная проекция диагонали равна \(d\cos66^\circ\), а высота трапеции — \(d\sin66^\circ\). По условию \(d=a+b\).

Расположим трапецию так, чтобы нижнее основание шло слева направо. Горизонтальная проекция второй диагонали, с направлением слева направо, равна \(d\cos66^\circ-d\): из проекции первой диагонали вычитается сумма оснований. Её модуль составляет \(d(1-\cos66^\circ)\), а вертикальная проекция равна \(d\sin66^\circ\).

Угол второй диагонали к горизонтали, если считать его в направлении снизу вверх слева направо, равен \(180^\circ-\arctan\!\left(\dfrac{\sin66^\circ}{1-\cos66^\circ}\right)=180^\circ-57^\circ=123^\circ\), поскольку \(\dfrac{1-\cos66^\circ}{\sin66^\circ}=\tan33^\circ\). Первая диагональ наклонена под углом \(66^\circ\), поэтому угол между диагоналями равен \(123^\circ-66^\circ=57^\circ\).

Ответ: \(57^\circ\).