18. Биссектрисы углов \(A\) и \(D\) параллелограмма \(ABCD\) пересекаются в точке \(M\), лежащей на стороне \(BC\). Найдите периметр параллелограмма \(ABCD\), если \(AB = 11\).

По условию задачи, биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке M, лежащей на стороне BC, и AB = 11.

Обозначим углы \(\angle BAM = \angle MAD = \alpha\) и \(\angle ADM = \angle MDC = \beta\).

Так как ABCD - параллелограмм, то \(\angle BAD + \angle ADC = 180^\circ\), то есть \(2\alpha + 2\beta = 180^\circ\), значит, \(\alpha + \beta = 90^\circ\).

В треугольнике AMD сумма углов равна 180^\circ, то есть \(\angle AMD = 180^\circ - (\alpha + \beta) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ\).

Таким образом, треугольник AMD - прямоугольный.

Так как AM - биссектриса угла A, то \(\angle BAM = \angle MAD\). Угол \(\angle BMA = \angle MAD\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AM. Значит, \(\angle BAM = \angle BMA\), следовательно, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 11.

Аналогично, DM - биссектриса угла D, то \(\angle ADM = \angle MDC\). Угол \(\angle CMD = \angle ADM\) как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей DM. Значит, \(\angle ADM = \angle CMD\), следовательно, треугольник CDM - равнобедренный, и CD = CM.

Так как AB = CD (противоположные стороны параллелограмма), то CM = 11. BC = BM + MC = 11 + 11 = 22.

Периметр параллелограмма ABCD равен \(2(AB + BC) = 2(11 + 22) = 2 \cdot 33 = 66\).

Ответ: 66