Биссектрисы углов А и Д параллелограмма АBCD пересекаются в точке К, лежащей на стороне ВС. Докажите, что К — середина ВС.

Пусть ABCD - параллелограмм, AK и DK - биссектрисы углов A и D соответственно, K лежит на BC.

Доказательство:

1) \( \angle BAK = \angle KAD \) (AK - биссектриса угла A)

\( \angle BKA = \angle KAD \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AK)

Следовательно, \( \angle BAK = \angle BKA \), значит, \( \triangle ABK \) - равнобедренный, и \( AB = BK \).

2) \( \angle CDK = \angle KDA \) (DK - биссектриса угла D)

\( \angle DKA = \angle KDA \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей DK)

Следовательно, \( \angle CDK = \angle DKA \), значит, \( \triangle CDK \) - равнобедренный, и \( CD = CK \).

3) Так как ABCD - параллелограмм, то \( AB = CD \).

Из пунктов 1, 2 и 3 следует, что \( BK = CK \).

4) K лежит на BC, BK = CK, значит, K - середина BC.

Ответ: Доказано