Биссектрисы углов А и В параллелограмма ABCD пересекаются в точке N, лежащей на стороне CD. Докажите, что N – середина CD.

Пусть ABCD - параллелограмм, AN - биссектриса угла A, BN - биссектриса угла B, N лежит на CD.

Докажем, что N - середина CD.

Так как AN - биссектриса угла A, то угол DAN = угол NAN.

Угол BNA = угол NAB (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AN).

Следовательно, угол DAN = угол BNA, то есть треугольник ABN равнобедренный, и AB = BN.

Аналогично, угол CBN = угол NBN.

Угол ANB = угол NBC (как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей BN).

Следовательно, угол CBN = угол ANB, то есть треугольник BCN равнобедренный, и BC = CN.

Так как ABCD - параллелограмм, то AB = CD и BC = AD.

Так как треугольники ADN и BCN равнобедренные, то AD = DN и BC = CN.

Следовательно, DN = CN, то есть N - середина CD.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано