5. Биссектрисы углов А и В при боковой стороне АВ трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найти АВ, если AF = 15, BF = 8.

По условию, AF и BF - биссектрисы углов A и B соответственно. Поскольку углы A и B являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и боковой стороне AB, их сумма равна 180 градусам. \[\angle A + \angle B = 180^\circ\] Так как AF и BF - биссектрисы, то: \[\angle BAF = \frac{1}{2} \angle A, \quad \angle ABF = \frac{1}{2} \angle B\] Сумма углов в треугольнике ABF равна 180 градусам: \[\angle BAF + \angle ABF + \angle AFB = 180^\circ\] Подставляем выражения для углов BAF и ABF: \[\frac{1}{2} \angle A + \frac{1}{2} \angle B + \angle AFB = 180^\circ\] Так как \(\angle A + \angle B = 180^\circ\), то: \[\frac{1}{2} (180^\circ) + \angle AFB = 180^\circ\] \[90^\circ + \angle AFB = 180^\circ\] \[\angle AFB = 90^\circ\] Значит, треугольник ABF - прямоугольный с прямым углом при вершине F. Тогда по теореме Пифагора: \[AB^2 = AF^2 + BF^2\] \[AB = \sqrt{AF^2 + BF^2}\] Подставляем известные значения AF = 15 и BF = 8: \[AB = \sqrt{15^2 + 8^2} = \sqrt{225 + 64} = \sqrt{289} = 17\] Таким образом, длина AB равна 17.