17. Биссектрисы углов $$M$$ и $$N$$ при боковой стороне $$MN$$ трапеции $$MNPK$$ пересекаются в точке $$O$$. Найдите $$MN$$, если $$MO = 24$$, $$NO = 18$$.

Пусть $$MO$$ и $$NO$$ - биссектрисы углов $$M$$ и $$N$$ соответственно. Тогда $$\angle OMN = \frac{1}{2} \angle M$$ и $$\angle ONM = \frac{1}{2} \angle N$$. Поскольку $$MNPK$$ - трапеция, то $$PK \parallel MN$$, а значит $$\angle M + \angle N = 180^{\circ}$$. Тогда $$\angle OMN + \angle ONM = \frac{1}{2} (\angle M + \angle N) = \frac{1}{2} \cdot 180^{\circ} = 90^{\circ}$$. Следовательно, $$\angle MON = 180^{\circ} - (\angle OMN + \angle ONM) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$$. Таким образом, треугольник $$MON$$ - прямоугольный с прямым углом $$O$$. По теореме Пифагора, $$MN^2 = MO^2 + NO^2 = 24^2 + 18^2 = 576 + 324 = 900$$. Следовательно, $$MN = \sqrt{900} = 30$$. Ответ: 30