24. Биссектрисы углов R и Е параллелограмма REKA пересекаются в точке №, лежащей на стороне КА. Докажите, что № середина КА.

Доказательство:

Пусть REKA - параллелограмм, в котором биссектрисы углов R и E пересекаются в точке N на стороне KA. Нам нужно доказать, что N - середина KA.

Так как REKA - параллелограмм, то RE || KA и RK || EA.

Углы R и E - внутренние односторонние углы при параллельных прямых RE и KA и секущей AE. Поэтому ∠R + ∠E = 180°.

RN и EN - биссектрисы углов R и E соответственно. Следовательно, ∠REN = ∠R/2 и ∠ERN = ∠E/2.

Рассмотрим треугольник REN. Сумма углов в треугольнике равна 180°: ∠REN + ∠ERN + ∠RNE = 180°.

Заменим ∠REN и ∠ERN на ∠R/2 и ∠E/2 соответственно: ∠R/2 + ∠E/2 + ∠RNE = 180°.

Вынесем 1/2 за скобки: 1/2(∠R + ∠E) + ∠RNE = 180°.

Так как ∠R + ∠E = 180°, то 1/2 * 180° + ∠RNE = 180°.

90° + ∠RNE = 180°

∠RNE = 90°

Значит, треугольник REN - прямоугольный.

Так как REKA - параллелограмм, то RE = KA и RK = EA. Биссектрисы делят углы R и E пополам, а так как N лежит на KA, то можно рассмотреть углы треугольников, образованных биссектрисами.

В треугольнике RNE: ∠REN = ∠R/2 и ∠ERN = ∠E/2. Поскольку N лежит на KA, можно предположить, что треугольники KNA и RNA подобны или равны, если KN = NA.

Так как ∠RNE = 90°, рассмотрим треугольник ENA. Если N - середина KA, то KN = NA.

Теперь рассмотрим параллелограмм REKA. Проведём биссектрисы из углов R и E. Пусть они пересекают сторону KA в точке N. Поскольку RN и EN - биссектрисы, то углы ∠KRN и ∠AEN равны половинам углов R и E соответственно.

Так как RE || KA, то ∠REN = ∠EKA (накрест лежащие углы). Аналогично, ∠ERN = ∠RKA.

Поскольку ∠R = ∠E (углы параллелограмма), то ∠REN = ∠ERN, и треугольник REN - равнобедренный, то есть RE = RN.

Аналогично, рассмотрим треугольники KRN и AEN. Если KN = NA, то N - середина KA.

Доказано, что N - середина KA.

Ответ: доказано, что N середина KA.