22. Постройте график функции у-3х+7)-х²-13х-42 и определите, при каких значениях т прямая ут имеет с графиком ровно три общие точки.

Для решения этой задачи, сначала упростим функцию:

$$y = |3x + 7| - x^2 - 13x - 42$$

$$y = |3(x + \frac{7}{3})| - x^2 - 13x - 42$$

Найдем нули подмодульного выражения:

$$3x+7=0$$

$$x=-\frac{7}{3}$$

Рассмотрим два случая:

1. $$x \ge -\frac{7}{3}$$

В этом случае модуль раскрывается как 3x + 7:

$$y = 3x + 7 - x^2 - 13x - 42$$

$$y = -x^2 - 10x - 35$$

$$y = -(x^2 + 10x + 35)$$

$$y = -(x^2 + 10x + 25 + 10)$$

$$y = -(x + 5)^2 - 10$$

2. $$x < -\frac{7}{3}$$

В этом случае модуль раскрывается как -(3x + 7):

$$y = -(3x + 7) - x^2 - 13x - 42$$

$$y = -3x - 7 - x^2 - 13x - 42$$

$$y = -x^2 - 16x - 49$$

$$y = -(x^2 + 16x + 49)$$

$$y = -(x^2 + 16x + 64 - 15)$$

$$y = -(x + 8)^2 + 15$$

Теперь построим график этой функции. Это парабола с вершиной в точке (-5, -10) для $$x \ge -\frac{7}{3}$$ и парабола с вершиной в точке (-8, 15) для $$x < -\frac{7}{3}$$.

Теперь рассмотрим прямую y = m. Нам нужно найти значения m, при которых эта прямая имеет с графиком ровно три общие точки. Это возможно, когда прямая проходит через вершину одной из парабол и пересекает другую параболу в двух точках.

Вершина первой параболы находится в точке (-5, -10), поэтому m = -10.

Вершина второй параболы находится в точке (-8, 15), поэтому m = 15.

Ответ: m = -10, m = 15