24. Биссектрисы углов С и D параллелограмма АBCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне АВ. Докажите, что L – середина стороны AB.

Решение задания №24

Доказательство:

1. Т.к. CL - биссектриса угла C, то ∠DCL = ∠LCB.
2. Т.к. DL - биссектриса угла D, то ∠CDL = ∠LDA.
3. ∠BCD + ∠CDA = 180° (как внутренние односторонние углы при параллельных прямых BC и AD и секущей CD).
4. Следовательно, ∠LCD + ∠LDC = 90° (половины углов C и D).
5. В треугольнике LCD: ∠CLD = 180° - (∠LCD + ∠LDC) = 90°.
6. Рассмотрим треугольник CDL: ∠CLD = 90°, значит CDL - прямоугольный.
7. Проведём высоту LH к CD. LH - высота и медиана (т.к. CDL прямоугольный).
8. Значит, CL = DL.
9. В треугольниках DLA и CLB: ∠LDA = ∠LCB (накрест лежащие при AD || BC и секущей LC), AD = BC (как противоположные стороны параллелограмма), DL = CL (доказано выше).
10. Следовательно, треугольники DLA и CLB равны по первому признаку равенства треугольников.
11. Тогда AL = BL, то есть L - середина AB.

Что и требовалось доказать.

Проверка за 10 секунд: Убедитесь, что доказательство основано на свойствах биссектрис и параллелограмма.

Доп. профит: Уровень Эксперт. Знание свойств геометрических фигур помогает решать задачи на доказательство.