Биссектрисы углов С и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке L, лежащей на стороне АВ. Докажите, что L — середина АВ.

Пусть CL - биссектриса угла C, DL - биссектриса угла D.

Так как ABCD - параллелограмм, то BC || AD и CD || AB. Углы C и D - односторонние при параллельных прямых AD и BC и секущей CD, поэтому ∠C + ∠D = 180°.

Так как CL и DL - биссектрисы углов C и D соответственно, то ∠DCL = ∠C/2 и ∠CDL = ∠D/2. Тогда ∠DCL + ∠CDL = ∠C/2 + ∠D/2 = (∠C + ∠D)/2 = 180°/2 = 90°.

В треугольнике CDL сумма углов равна 180°, следовательно, ∠CLD = 180° - (∠DCL + ∠CDL) = 180° - 90° = 90°. Треугольник CDL - прямоугольный.

Так как CL - биссектриса угла C, то ∠BCL = ∠DCL. Так как BC || AD, то ∠DCL = ∠CLB как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, ∠BCL = ∠CLB, то есть треугольник BCL - равнобедренный, и BC = BL.

Аналогично, так как DL - биссектриса угла D, то ∠ADL = ∠CDL. Так как AD || BC, то ∠CDL = ∠ALD как внутренние накрест лежащие углы. Следовательно, ∠ADL = ∠ALD, то есть треугольник ADL - равнобедренный, и AD = AL.

Так как ABCD - параллелограмм, то BC = AD. Следовательно, BL = AL. Так как L лежит на стороне AB, то L - середина AB.

Ответ: Доказано, что L - середина AB.