Постройте график функции y=\frac{1}{2}\left(\left|\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}\right|+\frac{x}{1,5}+\frac{1,5}{x}\right). Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно одну общую точку.

Преобразуем функцию:

$$y=\frac{1}{2}\left(\left|\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}\right|+\frac{x}{1,5}+\frac{1,5}{x}\right)$$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $$\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x} \geq 0$$

Тогда $$ \left|\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}\right| = \frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x} $$, и функция принимает вид:

$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}+\frac{x}{1,5}+\frac{1,5}{x}\right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{x}{1,5} = \frac{x}{1,5} = \frac{2x}{3}$$

$$\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x} \geq 0$$

$$\frac{x^2 - 1,5^2}{1,5x} \geq 0$$ $$\frac{(x-1,5)(x+1,5)}{x} \geq 0$$

Решим методом интервалов. Нули: -1,5; 0; 1,5.

      +       -       +       -
----(-1.5)----(0)----(1.5)---->

Следовательно, x ∈ [-1.5; 0) ∪ [1.5; +∞)

Случай 2: $$\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x} < 0$$

Тогда $$ \left|\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}\right| = -\left(\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x}\right) = \frac{1,5}{x} - \frac{x}{1,5} $$, и функция принимает вид:

$$y=\frac{1}{2}\left(\frac{1,5}{x} - \frac{x}{1,5}+\frac{x}{1,5}+\frac{1,5}{x}\right) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{1,5}{x} = \frac{1,5}{x} = \frac{3}{2x}$$ $$\frac{x}{1,5}-\frac{1,5}{x} < 0$$

Решением неравенства является x ∈ (-∞; -1.5] ∪ (0; 1.5]

Функция имеет вид:

$$ y = \begin{cases} \frac{2x}{3}, & x \in (-\infty; -1.5] \cup [1.5; +\infty) \\ \frac{3}{2x}, & x \in (-1.5; 0) \cup (0; 1.5) \end{cases} $$

Теперь определим, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно одну общую точку.

Прямая y = m будет иметь с графиком функции ровно одну общую точку, когда она касается графика функции y = 3/(2x) или проходит через угловую точку графика.

Ветвь y = 2x/3 проходит через точки (-1.5, -1) и (1.5, 1).

Ветвь y = 3/(2x) при x = 1.5 имеет значение y = 3/(2*1.5) = 1, а при x = -1.5 имеет значение y = -1.

Горизонтальная прямая имеет одну общую точку с графиком, если m = -1 или m = 1.

Ответ: -1; 1.